文档介绍：水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
曲面的实例：
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
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观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲 单叶旋转双曲面
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a
.
x
y
o
z
.
.
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
绕 y 轴一周
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3 旋转锥面
两条相交直线
绕 x 轴一周
x
y
o
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.
两条相交直线
绕 x 轴一周
x
y
o
z
3 旋转锥面
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x
y
o
z
.
两条相交直线
绕 x 轴一周
得旋转锥面
.
3 旋转锥面
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y
o
z
4 旋转抛物面
抛物线
绕 z 轴一周
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y
o
x
z
.
抛物线
绕 z 轴一周
4 旋转抛物面
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y
.
o
x
z
生活中见过这个曲面吗？
.
4 旋转抛物面
抛物线
绕 z 轴一周
得旋转抛物面
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5环面
y
x
o
r
R
绕 y轴 旋转所成曲面
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5环面
z
绕 y轴 旋转所成曲面
y
x
o
.
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5环面
z
绕 y轴 旋转所成曲面
环面方程
.
生活中见过这个曲面吗？
y
x
o
.
.
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救生圈
.
5 环面
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二次曲面的定义：
三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
二次曲面
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截痕法
用z = h截曲面
用y = m截曲面
用x = n截曲面
a
b
c
y
x
z
o
§ 椭球面
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椭球面的方程
椭球面与三个坐标面的交线：
椭球面
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椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面与平面 的交线为椭圆
同理与平面 和 的交线也是椭圆.
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椭球面的几种特殊情况：
旋转椭球面
由椭圆 绕 轴旋转而成．
旋转椭球面与椭球面的区别：
方程可写为
与平面 的交线为圆.
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球面
截面上圆的方程
方程可写为
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§ (1) 单叶双 曲 面
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：
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第一章
点
坐标
轨迹
方程
第二章
曲面
曲线
普通
参数
平面
与直线
第三章
方程与关系
一般曲面
第四章
常见曲面和二次曲面
第五章
二次曲线的一般理论
一般曲线
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一、概念
在空间直角坐标系中，由方程
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 此方程叫做单叶双曲面的标准方程.
方程
与
表示的曲面也是单叶双曲面.
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二、性质
1. 对称性
中心 ：
坐标原点（1个）;
主轴 ：
x轴、y轴和z轴（3条）;
主平面：
xOy面、yOz面和zOx面（3个）.
2. 截距和顶点
x=0, y=0 → z无解,
则z 轴上没有顶点；
x=0, z=0 → y = ±b,
则y轴上有顶点:
z=0, y=0 → x = ±a,
则x轴上有顶点:
（0，±b ，0）（2个）；
（±a，0，0）（2个）.
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(1)
: 双曲线
实轴为y轴,
虚轴为z轴;
: 双曲线
实轴为x轴,
虚轴为z轴;
(2)
(3)
: (腰椭圆）.
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