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圆的知识点总结
〔一〕圆的 z.
∵AE是直径，∴∠ADE＝90°
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°
∴的度数为50°。
解法三：〔用圆心角求〕如图2－3，连结CD
图2－3
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°
∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°
∴∠ACD＝50°，∴的度数为50°。
例3. ：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。
析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进展讨论。
略解：〔1〕假假设∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO
∵BO＝6，OD＝2
∴
在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8
∴
图3 图3－1
〔2〕假设∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4
∴AB
综上所述AB＝
小结：但凡与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
例4. ：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O于E。求证：AE·EF＝EC·ED
图4
分析：求证的等积式AE·EF＝EC·ED中，有两条线段EF、ED在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA即可。
证明：连结AC
∵四边形DEAC内接于圆
∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA
∵直径AB⊥CD，∴
∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA
∴△FED∽△CEA
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∴，∴AE·EF＝EC·ED
小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析条件时，千万不要忽略这一重要条件。
例5. ：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。
图5
〔1〕如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；
〔2〕如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE2＝EF·ED；
〔3〕如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，则〔2〕的结论是否仍成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。
证明：〔1〕连结BM〔如图5－1〕
图5－1
∵AM是直径，∴∠ABM＝90°
∵CD⊥AB，∴BM∥CD
∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN
∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM
〔2〕连结BD，BE，AC〔如图5－2〕
图5－2
∵点E是BC垂直平分线AM上一点，∴BE＝EC
∵CD＝AB，∴
∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE
∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC
∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB
∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED
〔3〕结论成立。如图5－3
图5－3
证明：仿〔2〕可证△ABE≌△ACE
∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE
又∵AB＝CD，∴
∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC
∴∠BDE＋∠ACE＝180°
而∠FBE＋∠ABE＝180°
∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角
∴△BED∽△FEB
∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED
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〔二〕直线与圆的关系
1. 直线与圆的位置关系
直线和圆的位置
相离
相切
相交
公共点的个数
0
1
2
公共点名称
无
切点
交点
直线名称
无
切线
割线
圆心到直线