文档介绍：理论力学第十二章动量矩定理
第十二章
动 量 矩 定 理
§12-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
对点 O 的动量矩
对 z 轴的动量矩
代数量,从 z 轴正向看,
逆时针为正理论力学第十二章动量矩定理
第十二章
动 量 矩 定 理
§12-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
对点 O 的动量矩
对 z 轴的动量矩
代数量,从 z 轴正向看,
逆时针为正,顺时针为负.
2．质点系的动量矩
对点的动量矩
对轴的动量矩
即
（1） 刚体平移
二者关系
（2） 刚体绕定轴转动
－－转动惯量
§12-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理
设O为定点,有
质点对某定点的动量矩对时间的
一阶导数,等于作用力对同一点的矩.
－－质点的动量矩定理
投影式:
质点系对某定点O的动量矩对
时间的导数,等于作用于质点系的
外力对于同一点的矩的矢量和.
－－质点系的动量矩定理
投影式:
问题：内力能否改变质
点系的动量矩？
3．动量矩守恒定律
若 则 常量。
有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心.
常矢量
若
则 常矢量,
面积速度定理：
质点在有心力作用下其面积速度守恒.
(1) 与 必在一固定平面内,即点M的运动轨迹是平面曲线.
即 常量
因此, 常量
面积速度
思考：谁先到达顶部？
例12-1 已知： ,小车不计摩擦.
求:小车的加速度 .
解:
由 ,得
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力:
即:
或
或
转动
微分
方程
约束力:
思考：花样滑冰运动员如何加速、减速？
已知：物理摆（复摆）， 。
求：微小摆动的周期 。
例12-5
解：
微小摆动时，
即：
通解为
称角振幅， 称初相位，由初始条件确定.
周期
求：制动所需时间 .
已知： ，动滑动摩擦因数 。
例12-7
解：
已知： 。 求： 。
解：
因 ， ，得
例12-8
§12-4 刚体对轴的转动惯量
1. 简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
由 ，得
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
（3）均质圆板对中心轴的转动惯量
式中：
或
2. 回转半径（惯性半径）
或
3．平行轴定理
式中 轴为过质心且与 轴平行的轴， 为
与 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.
证明：
4．组合法
求： .
已知：杆长为 质量为 ，圆盘半径为 ，质量为 .
解：
解：
其中
由 ，得
已知： 。
求 ： .
5．实验法
思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动.
由
其中 已知, 可测得，从而求得 .
6. 查表法
均质物体的转动惯量
薄壁圆筒
细直杆
体积
惯性半径
转动惯量
简 图
物体的形状
薄壁空心球
空心圆柱
圆柱
圆环
圆锥体
实心球
矩形薄板
长方体
椭圆形薄板
§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
?
0
2 相对质心的动量矩定理
－－质点系相对于质心的动量矩定理
质点系相对于质心的动量矩对
时间的导数，等于作用于质点系的
外力对质心的主矩.
思考：如何实现卫星姿态控制？
动量矩守恒定律实例
航天器中反作用轮姿态控制系统示意简图
§12-6 刚体的平面运动微分方程
平面运