文档介绍：椭圆方程及几何性质
强化训练
1．(2009年陕西)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．
答案：充要
，焦点在x轴上，离心率为 ，且过P
解得k＝0，k＝±4，
所以直线l的斜率为0或±4.
【点评】 求椭圆的方程，关键在于
寻找到能求a2，b2的关系式或条件，
观察图形，由条件转化是常用到的解
题办法．
练****1(09年广东)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，两个焦点分别为F1和F2，：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△AkF1F2的面积；
(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由．
(3)∵椭圆G与圆心Ak所在直线y＝2均关于y轴对称．
∴不妨考虑k≥0的情形，此时，圆心Ak(－k,2)到椭圆G的右顶点N(6,0)的距离为
∴点N(6,0)总在圆外；若k<0，
由(－6)2＋0－12k－0－2＝15－12k>0，
可知点(－6,0)在圆Ck外．
所以任何圆Ck都不能包围椭圆．
练****2、（2010安徽理数）已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，。
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)求角F1AF2的角平分线所在直线的方程；
(Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。
1．直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离．
2．消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础．
直线与椭圆的关系
考点四
本类问题中主要是直线与椭圆相交的问题，可以分为两类：
①直线过椭圆焦点（可以联想定义或焦
半径等；
②直线不过椭圆焦点．
处理的办法也分为两种：
①设而不求(点差法，涉及中点）；
②直线与椭圆联立方程组，运用韦达定理处理．
例5
设F1、F2为椭圆C： ＝1(a>b
>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上点A
(1， )到F1、F2两点的距离之和等于4.
(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)过点P(0， )的直线与椭圆交于两点
M、N，若以M、N为直径的圆通过原
点，求直线MN的方程．
【解】 (1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
总结：直线与椭圆相交往往是联立方程
组，利用韦达定理等知识，但某些条件
的转化应用往往是解题的突破口和关
键，如本题中向量数量积的应用，这就
要求解题过程中对条件的分析要准确，
与其它知识点的转化要熟练．
练****1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积与椭圆的长轴无关．
练****2
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半
焦距)，求直线AB的斜率k的值；
(3)试问：△AOB的面积是否为定值？如
果是，请给予证明；如果不是，请说明
理由．
征服畏惧、
建立自信的最快
最确实的方法，
就是去做你害怕的事，
直到你获得
试卷18题
主要问题有两类，
第一类根据椭圆方程研究椭圆的几何
性质，
第二类根据椭圆的几何性质，综合其
他知识求椭圆方程或者研究其他问
题，这一类利用性质是关键．
椭圆的几何性质
考点五
例6
(1)求椭圆C的方程．
(2)椭圆C上任一动点M(x0，y0)关于直线
y＝2x的对称点为M1(x1，y1)，求3x1－4y1的
取值范围．
∴3x1－4y1＝－5x0.
∵点P(x0，y0)在椭圆C： ＝1
上，∴－2≤x0≤2，
∴－10≤－5x0≤10.
即3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．
总结：椭圆的几何性质如离心率题，
范围问题都是常考的内容，本题中是
利用椭圆上点的横纵坐标的范围来转
化的，这是解决有关范围问题常用的
一个方法，但并不是惟一的方法，题
目设置的条件不同，采用的方法也会
随之不同，因此，需要在平时总结不
同的题型，以便归纳规律和方法．
练****2010年苏、锡、常、镇调研)已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为 .
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