文档介绍：解排列问题的常用技巧
2-3课时
解排列问题的常用技巧
解排列问题:首先必须认真审题, 明确问题是否是排列问题;其次是抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答;同时,还要注意讲究一些基本策略和方法技巧, 使一些看似复杂的问题迎刃而解。
下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。
总的原则—合理分类和准确分步
解排列问题,应按元素的性质进行分类,事情发生的连续过程应分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
分析:先安排甲,按照要求对其进行分类,分两类:
根据分步及分类计数原理,不同的站法共有
示例1. 今有6个同学和2个老师排成一排照相,2个老师站中间,
学生甲不站排头,学生乙不站排尾,共有多少种不同的排法?
1)若甲在排尾上,则剩下的5人可自由安排,有种方法.
2) 若甲不在尾, 则排尾的排法有种,第1位的排法有种, 第2、3、6、7位的排法有种,根据分步计数原理,不同的站法有种。
再安排老师,有2种方法。
(1)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的五位偶数?
个位数为零:
个位数不是零,即为2或4:
所以
练习一下
(2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数?
分类:后两位数字为5或0:
个位数为0:
个位数为5:
法二:考虑元素0也可以:
1)0在尾
2)0不再尾
(一)特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其它元素。
例2 用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复数字
的三位数,其中偶数共有( )
分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数, 又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类;
0排在末尾时,有个;
0不排在末尾时,先用偶数排个位,再排百位,最后排十位有个;
由分类计数原理,共有偶数 30 个.
B
解题技巧
例3 用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复
数字的三位数,其中1不在个位的数共有_______种。
(二)总体淘汰法(间接法)
对于含有否定词语的问题,还可以从总体中把不符合要求的减去,此时应注意既不能多减又不能少减。
分析:五个数组成三位数的全排列有个,0排在首位的
有个,1排在末尾的有,减掉这两种不合条件的排
法数,再加回百位为0同时个位为1的排列数(为什么?)
故共有种。
(1)五人从左到右站成一排,其中甲不站排头,乙不站第2个位置,那么不同的站法有( )
直接
练习一下
(2)0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字且个位数字不是4的五位数?
(3)用间接法解例1“6个同学和2个老师排成一排照相, 2个老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排尾,共有多少种不同的排法?”
直接法怎么做呢?
1)个位是0:
2)个位不是零:即个位是1,或2,或3,或5
(三)相邻问题——捆绑法
对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”在一起,看作一个“大”的元素(组),与其它元素排列,然后再对相邻的元素(组)内部进行排列。
例4 现有7人站成一排照相,要求甲、乙、丙三人相邻,分别有多少种站法?
分析:先将甲,乙,丙三人捆绑在一起看作一个元素,与其余4人共有5个元素做全排列, 有种排法,然后对甲,乙,丙三人进行全排列。
由分步计数原理可得种不同排法。
(四)不相邻问题——插空法
对于某几个元素不相邻得排列问题,可先将其它
元素排好,然后再将不相邻的元素在已排好的元素
之间及两端的空隙之间插入即可。
例5 7人站成一排照相,要求甲,乙,丙三人不相邻,分别有多少种站法?
分析:可先让其余4人站好,共有种排法,再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入,则有种方法,这样共有种不同的排法。