文档介绍：泛函分析题 1_3列紧集 p19
在完备的度量空间中，求证：为了子集 A 是列紧的，其充分必要条件是对
Ve > 0,存在A的列紧的s网.
证明：(1) 若子集 A 是列紧的，由 Hausdorff 定理，
Ve > 0,存在A的有限e网N.
而有限集是列紧的，故存在A的列紧的e网N.
⑵ 若Ve > 0,存在A的列紧的e/2网B.
因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限e/2网C.
因C匸B匸A,故C为A的有限e网.
因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的.
在度量空间中,求证：紧集上的连续函数必是有界的,并且能达到它的上、下确界.
证明：设(X,p)是度量空间，D是紧子集，f D T Z是连续函数.
⑴ 若f无上界，贝VVneZ+，存在x店D,使得f (x”)> 1/n.
因 D 是紧集，故 D 是自列紧的.
所以{xn}存在收敛子列xn(k) T x0eD (kTs).
由 f 的连续性，f (xn(k)) Tf (x0) (kTd
但由 f (xn) > 1/n 知 f (xn) T (nTs),
所以 f(xn(k))T +8 (kTW)，矛盾.
故f有上界•同理，故f有下界.
(2)设 M = sup晴Dfx)，贝贝 Vnd，存在 y店D，使得f (yn) > M - 1/n.
{y”}存在子列 y”(k)Ty°wD(kT8)・
因此 f (y0) > m.
而根据M的定义，又有f (y0) < M.
所以f (y0) = .
同理，f能达到它的下确界.
，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k> ]，其中e k = { 0, 0, 1, 0, ... }(只是第k个坐标为1,其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的.
证明：(1)若A是度量空间(X,p)中的完全有界集.
则存在 A 的有限 1-网 N = { x0,X],x2, xn }.
令 R =工 1 < j < n P(X0, Xj) + 1-
则VxeA,存在某个j使得0 < j < n,且p(x, x.) < 1.
因此，p(x, x0) < p(x, j + P(X・，x0) < 1 + E1 <.<n P(x0, j = R.
所以A是度量空间(X,p)中的有界集. …
⑵ 注意到p(ek, e .) = 21/2 ( Vk 丰 j ),
故 E 中任意点列都不是 Cauchy 列.
所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾).
因此，E不是列紧集.
由 l 2 是完备的，以及 Hausdorff 定理，知 E 不是全有界集．但 E 显然是有界集．
(X,p)是度量空间，F], F2是它的两个紧子集，求证：3 x. e F. (i = 1, 2), 使得p(F], F2) = p(x1, x2).其中p(F], F2) = inf {p(x, y) I xeF1, yeF2 }
证明：由p(F], F2)的定义，VneZ+, 3 xf) e F. (i = 1, 2),使得 p(x1(n),x2(n)) < p(F