文档介绍：高三一轮复****学案-----第七章：立体几何
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第七节 立体几何中的向量方法(一)
——证明空间中的位置关系
(1)直线的方向向量
①定义：向量a所在直线与l_平行或重合，A,B,C四点共面，只要能证明 或对空间任一
点O，有 即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
【变式训练】如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是平面ABCD外一点，连接PA，PB，PC，，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.
(1)试用向量法证明E，F，G，H四点共面.
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量法证明你的判断.
【解析】(1)分别连接PE,PF,PG,PH并延长交对边于M,N,Q,R点.
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因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,
所以M,N,Q,R分别为所在边的中点，连接MN,NQ,QR,RM得到的四边形为平行四边形，且有：
连接MQ，EG，因为四边形MNQR是平行四边形，所以
由共面向量定理知E,F,G,H四点共面
(2)：
由(1)得
又因为EGË平面ABCD，MQ⊂平面ABCD，
所以EG∥平面ABCD.
因为
所以MN∥EF.
又因为EFË平面ABCD，MN⊂平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
由于EG与EF交于E点，
所以平面EFGH∥平面ABCD.
考向 2 利用空间向量证明平行关系
【典例2】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点.
求证：CE∥平面C1E1F.
【思路点拨】要证明CE∥平面C1E1F，可证明向量 与平面C1E1F的法向量垂直.
【规范解答】以D为原点，DA，DC，DD1
所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间
直角坐标系，设BC＝1，
则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，
1，2)，F(1，1，1)，E1(1， ，2).
设平面C1E1F的一个法向量n=(x,y,z).
【互动探究】在本例条件下，判断平面C1E1F与平面CEF是否垂直，并给出证明.
【拓展提升】利用向量处理平行问题的常用方法
(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
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(2)证明线面平行的方法：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示.
(3)证明面面平行：
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题.
考向 3 利用空间向量证明垂直关系
【典例