文档介绍：第六章_机器人的轨迹规划...
例：
设机械手的某个关节的起始关节角θ0＝150，并且机械手原来是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θf=750时停下来(即要求在终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑运动的轨迹，并画出关节第六章_机器人的轨迹规划...
例：
设机械手的某个关节的起始关节角θ0＝150，并且机械手原来是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θf=750时停下来(即要求在终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑运动的轨迹，并画出关节角位置、角速度及角加速度随时间变化的曲线。
解：
根据所给约束条件，直接代入式(4-4)，可得：
a0=15， a1=0， a2=20， a3=-
所求关节角的位置函数为：
对上式求导，可以得到角速度和角加速度
（4-6）
（4-7）
关节空间法
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根据式(4-5)～(4-7)可画出它们随时间的变化曲线如下图所示。由图看出，速度曲线为一抛物线，加速度则为一直线。
利用三次多项式规划出的关节角的运动轨迹
关节空间法
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过路径点的三次多项式
方法是：把所有路径点都看成是“起点”或“终点”，求解逆运动学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项式插值函数，把路径点平滑的连接起来。不同的是，这些“起点”和“终点”的关节速度不再是零。
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同理可以求得此时的三次多项式系数：
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位置和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的期望关节速度，有以下三种方法：
此时的速度
约束条件变为：
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（1） 根据工具坐标系在直角坐标空间中的瞬时线速度和角速度来确定每个路径点的关节速度 ；该方法工作量大。
（2）采用路径点处加速度连续的方法，由控制系统按照此要求自动地选择路径点的速度。
（3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发式方法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
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对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法用两条三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所要求的轨迹。其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度也要连续。
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对于方法（3）， 这里所说的启发式方法很简单，即假设用直线段把这些路径点依次连接起来，如果相邻线段的斜率在路径点处改变符号，则把速度选定为零；如果相邻线段不改变符号，则选择路径点两侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。
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如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运动轨迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终点都规定了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系数），则要用一个五次多项式进行插值。
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2）与抛物线拟合的线性函数
前面介绍了利用三次多项式函数插值的规划方法。另外一种常用方法是线性函数插值法，即用一条直线将起点与终点连接起来。但是，简单的线性函数插值将使得关节的运动速度在起点和终点处不连续，它也意味着需要产生无穷大的加速度，这显然是不希望的。因此可以考虑在起点和终点处，用抛物线与直线连接起来，在抛物线段内，使用恒定的加速度来平滑地改变速度，从而使得整个运动轨迹的位置和速度是连续的。
关节空间法
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线性函数插值图
利用抛物线过渡的线性函数插值图
关节空间法
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过路径点的路径与抛物线拟合的线性函数
如图所示，某个关节在运动中设有n个路径点，其中三个相邻的路径点表示为j，k和l，每两个相邻的路径点之间都以线性函数相连，而所有的路径点附近则用抛物线过渡。（同样存在多解）
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如果要求机器人通过某个结点，同时速度不为零，怎么办？
可以在此结点两端规定两个“伪结点”，令该结点在两伪结点的连线上，并位于两过渡域之间的线性域上。
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前面介绍的在关节空间内的规划，可以保证运动轨迹经过给定的路径点。但是在直角坐标空间，路径点之间的轨迹形状往往是十分复杂的，它取决于机械手的运动学机构特性。在有些情况下，对机械手末端的轨迹形状也有一定要求，如要求它在两点之间走一条直线，或者沿着一个圆弧运动以绕过障碍物等。这时便需要在直角坐标空间内规划机械手的运动轨迹．
直角坐标空间的路径点，指的是机械手末端的工具坐标相对于基坐标的位置和姿态．每一个点由6个量组成，其中3个量描述位置，另外3个量描述姿态。
在直角坐标空间内规划的方法主要有：线性函数插值法和圆弧插值法。
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前面轨迹规划的任务，是根据给定的路径点规划出运动轨迹的所有参数。
例如，在用三次多项式函