文档介绍：生活中的优化问题举例
.(重点)
,提高分析问题,解决问题的能力.(难点)
[基础·初探]
教材整理优化问题
阅读教材P101第一自然段,完成下列问题.
(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.
(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值.
甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图3­4­1所示:
图3­4­1
现有下列四种说法:
①前四年该产品产量增长速度越来越快;
②前四年该产品产量增长速度越来越慢;
③第四年后该产品停止生产;
④第四年后该产品年产量保持不变.
其中说法正确的有( )
A.①④ B.②④
C.①③ D.②③
【解析】由图象可知,②④是正确的.
【答案】 B
[小组合作型]
面积、体积最值问题
用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图3­4­2).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
【导学号:97792051】
图3­4­2
【精彩点拨】
―→―→―→
【自主解答】设容器的高为x cm,容器的容积为V(x)cm3,则:
V(x)=x(90-2x)(48-2x)
=4x3-276x2+4 320x(0<x<24).
所以V′(x)=12x2-552x+4 320
=12(x2-46x+360)
=12(x-10)(x-36).
令V′(x)=0,得x=10或x=36(舍去).
当0<x<10时,V′(x)>0,即V(x)是增加的;
当10<x<24时,V′(x)<0,即V(x)是减少的.
因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为V(10)=19 600(cm3).
因此当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积为19 600 cm3.
,关键是分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,然后再用导数求最值.
(1)根据图形确定定义域,如本例中长方体的长、宽、高都大于零;
(2)根据问题的实际意义确定定义域,如人数必须为整数,销售单价大于成本价、销售量大于零等.
[再练一题]
,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的长和宽.
【解】设矩形边长AD
=2x(0<x<2),
则|AB|=y=4-x2,
则矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2),
∴S′=8-6x2,令S′=0,
解得x1=,x2=-(舍去).
当0<x<,S′>0,当<x<2时,S′<0,
所以,当x=时,S取得最大值,
此时Smax=.
即矩形的边长分别为,时,矩形的面积最大.
用料(费用)最省问题
某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10 000平方米,该中心每块球场的建设面积为1 000平方米,球场的总