文档介绍：几何概型
.(重点)
.(重点)
,准确地把实际问题转化为几何概型问题.(难点)
.(难点)
[基础·初探]
教材整理几何概型
阅读教材P109,完成下列问题.
图3­3­1
如果把事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图3­3­1所示),A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,满足以上条件的试验称为几何概型.
在几何概型中,事件A的概率定义为:P(A)=,其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA表示子区域A的几何度量.
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.( )
(2)在射击中,运动员击中靶心的概率在(0,1)内.( )
(3)几何概型的基本事件有无数多个.( )
【答案】(1)√(2)× (3)√
[-1,2]上随机取一个数x,则|x|≤1的概率为________.
【解析】∵区间[-1,2]的长度为3,由|x|≤1得x∈[-1,1],而区间[-1,1]的长度为2,x取每个值为随机的,∴在[-1,2]上取一个数x,|x|≤1的概率P=.
【答案】
[小组合作型]
与长度有关的几何概型
某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率.
【精彩点拨】乘客在上一辆车发车后的5 min之内到达车站,等车时间会超过10 min.
【尝试解答】设上一辆车于时刻T1到达,而下一辆车于时刻T2到达,则线段T1T2的长度为15,设T是线段T1T2上的点,且T1T=5,T2T=10,如图所示.
记“等车时间超过10 min”为事件A,则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时,事件A发生.
∴P(A)===,
即该乘客等车时间超过10 min的概率是.
在求解与长度有关的几何概型时,首先找到试验的全部结果构成的区域D,这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A发生对应的区域d,在找d的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A的概率.
[再练一题]
,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒,当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少?
(1)红灯亮;
(2)黄灯亮;
(3)不是红灯亮.
【解】在75秒内,每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于几何概型.
(1)P===.
(2)P===.
(3)P=
===,
或P=1-P(红灯亮)=1-=.
与面积有关的几何概型
设有一个等边三角形网格,其中每个最小等边三角形的边长都是4 cm,现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.
【精彩点拨】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1,硬币落下后与格线没有公共点,在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线,构成小等边三角形,当硬币中心在小等边三角形内时,硬币与三边都没有公共点,所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落