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运筹学动态规决策变量
及定义最优指标函数
2、从边界条件开始，逆向或正向逐段递推求解。
3、各个阶段的最优决策是从全局考虑的，并非仅考虑本阶段。
其基本方程为
建立动态规划的模型，就是分析问题并建立问题的动态规划基本方程，成功地应用动态规划方法的关键，在于识别问题本身的多阶段特征，将问题分解成为可用递推关系式联系起来的若干子问题。而正确建立基本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量。
DP模型的建立与求解
一、DP模型的建立
1、正确、明确地划分阶段 k， k =1，2，3，…，n。
2、正确选择并确定状态变量 sk 及状态集合 Sk 。
3、确定决策变量 dk 及决策集合 Dk（sk）。
4、写出状态转移方程 sk+1 = Tk（sk，dk）。
5、定义阶段指标值（函数） vk（sk，dk）。
6、定义第 k至 n 阶段的最优指标函数 fk（sk）；
7、建立动态规划基本方程（逆序递推方程）
例4-3 分配投资问题
问题的一般描述如下：设有某种资源，总数量为a，用于生产n种产品；若分配数量 xi 用于生产第i种产品，其收益为gi(xi)。问应如何分配，使得使总收益最大？
该类问题可用动态规划进行求解：
例如：
某公司有资金10万元，若投资于项目 k (k = 1,2,3)的投资额为 xk 时，收益分别为 g1(x1) = 4x1， g2(x2) = 9x2， g3(x3) = 2x32 ，问应该如何分配投资数额才能使总收益最大？
该问题表面上看与时间无明显关系，其静态模型：
现人为地给它赋予“时段”的概念，将投资项目排序，首先考虑项目1的投资，然后考虑项目2的投资……，问题分为3个阶段，每个阶段只决定一个项目的投资金额。
问题分三个阶段，即k = 1，2，3
sk ：第 k 阶段初拥有的资金总量
xk ：项目 k 的投资额，0 ≤ xk ≤ sk
sk+1 = sk - xk
Vk(sk,xk) = gk(xk)
解：
基本方程为：
例4-4 采购与销售问题 P103 例2
某商店在未来四个月里，利用一个仓库经销某种商品。仓库最大容量H = 1000件，每月中旬订购商品并于下月初到货。估计未来四个月该商品的购价pk及售价qk如表4-1所示。假定商店在1月初库存500件，每月的需求不限，问应如何计划每月的订购及销售数量，使总利润最大（不考虑库存费用）。
月份 k
购价 pk
售价 qk
1
2
3
4
10
9
11
15
12
9
13
17
表4-1
问题分4个阶段，即k = 1，2，3，4
sk ：第 k 月初的库存
xk ，yk：第k 月的订购及销售量
解：
基本方程为：
课堂练****br/>某公司拟将某种高效设备5台分配给所属甲、乙、丙3厂。各厂获此设备后可产生的效益如表4-2所示。问应如何分配，可使所产生的总效益最大？
表4-2 效益表
解：
阶段k =1,2,3依次表示把设备分配给甲、乙、丙厂的过程；
状态sk表示在第k阶段初还剩有的可分台数；
决策xk表示第k阶段分配的设备台数；
状态转移sk+1 = sk - xk ；
阶段指标vk 表示第k阶段分配后产生的效益；
指标函数：
基本方程：
逆序递推法
将寻优过程看做连续递推的过程，从最终阶段开始，逆着实际决策过程的进展方向逐段求解，在每一段求解中都要利用刚刚求解完那段的结果，直到初始阶段求出结果回到始点为止。
顺序递推法
从初始阶段向前递推，直到最终阶段为止。
二、DP模型的求解
P106 例3
sk+1 = sk – xk
g1(x1)= 4x1
g2(x2)= 9x2
g3(x3)= 2x32
例4-3 分配投资问题的逆序求解
基本方程为：
可证明极大值只可能在端点取得
k = 3
此时，x3 = s3
k = 2
此时，x2 = s2
此时，x2 = 0
k = 1
当 s2 < 9/2 时
此时，x1 = 0 ，s2 = s1 = 10 ，矛盾，舍去
x2 = s2
当 s2 > 9/2 时
此时，x1 = 0
综上可得
x1 = 0
s2 = 10 > 9/2
x2 = 0
s3 = 10
x3 = 10
即将全部资金投资于第 3 个项目，可获得最大收益 200 万元。
x2 = 0
sk+1 = sk + xk –