文档介绍：第三节误差的估算
由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种,无论直测量,还是间测量都有误差,误差的计算也分两种情况。广义地讲,两种情况的处理都属于误差计算。然而,间测量是由直测量决定的,以直测量为基础的,间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此,狭义地讲,常把直测量的误差计算称为误差计算,而将间测量的误差计算叫误差传递。此外,由于严格意义上的误差是无法计算的,因而只能通过各种方法进行近似计算,故将误差计算称为误差的估算,而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。
一、直测量的误差估算
在测量列中,各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为。
按定义
或
其中。
当n较大时,可用下式估算为
此法比前法得到的偏差要大些。
误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差,如上面的,。而广义的绝对误差还有后面要讨论的,,,Q等。
绝对误差与平均值的百分比叫相对误差,又叫百分误差。记为。其估算方法为
广义地讲,后面要讨论的、等都可叫相对误差。
(实验标准差)
按定义,标准误差是测量列中各次误差的方均根,记为。即
需要注意的是,上式是在测量次数很多时,测量列按正态分布时所得到的结果。
实际上,由于真值无法获得,而测量次数也只能是有限的。因此,标准误差只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有:最大偏差法、极差法、Bessel法等,它们的估算结果基本一致。应用上,一般使用Bessel方法。
由统计理论可推导出,对有限次测量的Bessel标准偏差的计算公式(Bessel公式)为:
或
即最后是用代替。通常所说的标准误差,实际上就是。
算术平均值的标准差与实验标准差的关系为
类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系
而且。
二、间测量的误差计算(误差的传递)
上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的,在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道,间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差,它们之间的这种关系叫误差的传递,相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式,然后再将其运用于一些具体情况。
设间接测量量与彼此独立的直接测量量、、(只取3个)间的函数关系为
测量结果用平均值和绝对误差表示为
和
其中,。
将在点按泰勒级数展开有
+…(高阶小量)
将此结果与