文档介绍：第一讲平衡问题
一、特别提示[解平衡问题几种常见方法]
1、力的合成、分解法:对于三力平衡,一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系,借助三角函数、相似三角形等手段求解;或将某一个力分解到另外两个力的反方向上,得到这两个分力必与另外两个力等大、反向;对于多个力的平衡,利用先分解再合成的正交分解法。
2、力汇交原理:如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡,这三个力的作用线必在同一平面上,而且必有共点力。
3、正交分解法:将各力分解到轴上和轴上,运用两坐标轴上的合力等于零的条件多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是,对、方向选择时,尽可能使落在、轴上的力多;被分解的力尽可能是已知力。
4、矢量三角形法:物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时,这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形,则这三个力的合力必为零,利用三角形法求得未知力。
5、对称法:利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。在静力学中所研究对象有些具有对称性,模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。解题中注意到这一点,会使解题过程简化。
6、正弦定理法:三力平衡时,三个力可构成一封闭三角形,若由题设条件寻找到角度关系,则可用正弦定理列式求解。
7、相似三角形法:利用力的三角形和线段三角形相似。
二、典型例题
1、力学中的平衡:运动状态未发生改变,即。表现:静止或匀速直线运动
(1)在重力、弹力、摩擦力作用下的平衡
例1 质量为的物体置于动摩擦因数为的水平面上,现对它施加一个拉力,使它做匀速直线运动,问拉力与水平方向成多大夹角时这个力最小?
解析取物体为研究对象,物体受到重力,地面的支持力N,摩擦力及拉力T四个力作用,如图1-1所示。
由于物体在水平面上滑动,则,将和N合成,得到合力F,由图知F与的夹角:
不管拉力T方向如何变化,F与水平方向的夹角不变,即F为一个方向不发生改变的变力。这显然属于三力平衡中的动态平衡问题,由前面讨论知,当T与F互相垂直时,T有最小值,即当拉力与水平方向的夹角时,使物体做匀速运动的拉力T最小。
(2)摩擦力在平衡问题中的表现
这类问题是指平衡的物体受到了包括摩擦力在内的力的作用。在共点力平衡中,当物体虽然静止但有运动趋势时,属于静摩擦力;当物体滑动时,属于动摩擦力。由于摩擦力的方向要随运动或运动趋势的方向的改变而改变,静摩擦力大小还可在一定范围内变动,因此包括摩擦力在内的平衡问题常常需要多讨论几种情况,要复杂一些。因此做这类题目时要注意两点
①由于静摩擦力的大小和方向都要随运动趋势的改变而改变,因此维持物体静止状态所需的外力允许有一定范围;又由于存在着最大静摩擦力,所以使物体起动所需要的力应大于某一最小的力。总之,包含摩擦力在内的平衡问题,物体维持静止或起动需要的动力的大小是允许在一定范围内的,只有当维持匀速运动时,外力才需确定的数值。
②由于滑动摩擦力F=,要特别注意题目中正压力的大小的分析和计算,防止出现错误。
例2 重力为G的物体A受到与竖直方向成角的外力 F后,静止在竖直墙面上,如图1-2所示,试求墙对物体A的静摩擦力。
分析与解答这是物体在静摩擦力作用下平衡问题。首先确定研究对象,对研究对象进行受力分析,画出受力图。A受竖直向下的重力G,外力F,墙对A水平向右的支持力(弹力)N,以及还可能有静摩擦力。这里对静摩擦力的有无及方向的判断是极其重要的。物体之间有相对运动趋势时,它们之间就有静摩擦力;物体间没有相对运动趋势时,它们之间就没有静摩擦力。可以假设接触面是光滑的,若不会相对运动,物体将不受静摩擦力,若有相对运动就有静摩擦力。(注意:这种假设的方法在研究物理问题时是常用方法,也是很重要的方法。)具体到这个题目,在竖直方向物体A受重力G以及外力F的竖直分量,即。当接触面光滑,时,物体能保持静止;当时,物体A有向下运动的趋势,那么A应受到向上的静摩擦力;当时,物体A则有向上运动的趋势,受到的静摩擦力的方向向下,因此应分三种情况说明。
从这里可以看出,由于静摩擦力方向能够改变,数值也有一定的变动范围,滑动摩擦力虽有确定数值,但方向则随相对滑动的方向而改变,因此,讨论使物体维持某一状态所需的外力F的许可范围和大小是很重要的。何时用等号,何时用不等号,必须十分注意。
(3)弹性力作用下的平衡问题
例3 如图1-3所示,一个重力为的小环套在竖直的半径为的光滑大圆环上,一劲度系数为k,自然长度为L(L<2r)弹簧的一端固定在小环上,另一端固定在大圆环的最高点A。当小环静止时,略去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦。求弹簧与竖直方向之间的夹角
分析选取小环为研究对象,孤立它进行受力情况分析:小环受重力、大圆环沿半径方向的支持力N、弹簧对它的