文档介绍：第九章概率算法
第1页，共38页，2022年，5月20日，14点43分，星期日
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计算机算法设计与分析
概率计算
概率计算就是在算法中可采用随机选择计算的步骤、元素或参数等。
它的基本特征是计算具有022年，5月20日，14点43分，星期日
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计算机算法设计与分析
Fermat素数测试法
Fermat定理： 若p是素数，则对任意整数a，gcd(a, p) = 1，则有ap–1≡1 (mod p)。
显然，对素数p有pp–1 ≡1 (mod p)。
对于一般的整数n，满足nn–1≡1 (mod n)的数目很少。满足的称为伪素数。
就用是否满足nn–1≡1 (mod n)来判断n是否为素数。
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计算机算法设计与分析
Fermat素数测试法
Bool Fermat_Prime(int n) {
a = 2; power = n – 1; other = 1;
while(power > 1) {
if (power % 2 = = 1) {other *= a; other %= n;}
power /= 2; a = a * a % n;}
if (a * other % n == 1) return True;
return False;
}
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计算机算法设计与分析
合数的见证者
设n为测试的自然数，不妨设n是大于2的奇数，则有n – 1 = 2im，其中i是非负整数，m是正奇数。取一自然数b，1 < b < n，记W(b)为条件：
① bn–1 ≠ 1 (mod n) 或
②i，使得m = (n–1)/2i 且 1 < gcd(bm–1, n) < b。
若①或②中有一个为真，就认为W(b)满足，则n必定是合数，我们称b是n为合数的见证者。
若n有见证者，则n必定为合数。
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计算机算法设计与分析
合数的见证者多于一半
Miller已经证明，存在常数c，使得当n为合数时，在[1, c(log n)2]范围内有见证者。
Rabin证明了：如果n是合数，则
|{b|1<b<n，W(b)满足}|≥(n–1)/2
即，在小于n的自然数中有多半是n的见证者。
任取一个自然数b < n，若b不是n的见证者，则n是合数的概率小于1/2。若随机取m个数都不是见证者，则n是合数的概率小于1/2m。
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计算机算法设计与分析
Miller-Rabin素数判定概率算法
Bool Miller_Rabin_Prime(int n){
b[1 .. m] = RandomSampling(n, m);
/*随机选取m个大于1小于n的无重复的自然数
for (j = 1; j <= m; j++)
if (W(b[j]) 满足) return False;
return True;
}
若m = 100，则n不是素数的概率小于1/2100。
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计算机算法设计与分析
Las Vegas算法
Las Vegas算法的特点是随机性地进行决策。
例如对n后问题，Las Vegas算法是随机地产生一组王后放置的位置。若成功了，便找到了一个解；若失败了，就整个重来，再随机产生另外一组王后的位置。这样作，直至找到解。
此算法能显著地改进算法的有效性，甚至对迄今为止找不到有效算法的问题，也能得到满意的结果。
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计算机算法设计与分析
瞎子爬山法与局部最优
更一般的求解问题的方法是瞎子爬山法。
一个瞎子从山脚开始，试探着一步一步向上爬，就可以一直爬到山顶。
可是，他爬上的可能只是个小山头，更高的山还在后面。而他无法从小山头下来，也就无法爬到更高的山头了。
这种情形就被称为陷入了局部最优。
如何避免陷入局部最优是求解问题中要注意的一个重要问题。
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计算机算法设计与分析
进化算法(Evolutionary