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时间序列分析方法谱分析
第六章 谱分析 Spectral Analysis
到目前为止，时刻变量的数值一般都表示成为一系列献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对于一般的情形，着名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。
对任意给定的固定频率，我们定义随机变量和，并假设可以将一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：
这里需要对随机变量和的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是谱表示定理的一般形式。
§ 样本周期图 Sample Periodogram
对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程，我们已经定义在频率处的谱函数值为：
，
注意到母体谱是利用表示的，而表示的是母体的二阶矩性质。
给定由表示的T个样本，我们可以利用下述公式计算直到阶的样本自协方差：
，
对于给定的，我们可以获得母体谱密度对应的样本情形，我们称其为样本周期图：
样本周期图也可以表示成为如下形式：
类似地，我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差：
样本周期图也是关于原点对称的，因此也有：
更为重要的是，谱表示定理在样本情形也有类似的表示。我们将要说明，对于平稳过程的任意一个容量为的观测值序列，存在频率和系数，，使得期的值可以表示成为：
其中：
当时，与不相关；
当时，与不相关；
对于所有的和，与不相关。
的样本方差是，该方差中可以归因于频率为的周期成分的部分由样本周期图给出。
我们对样本容量是奇数的情形展开讨论上述谱表示模式。这时可以表示成为由个不同频率构成的周期函数，频率如下：
，，……，
因此最高频率为：
我们考虑基于常数项、正弦函数和余弦函数的线性回归：
将这个回归方程表示成为下述方式：
其中：，这是一个具有个解释变量的回归方程，因此解释变量与观测值是一样多的。我们将证明解释变量之间是线性无关的，这意味着基于回归的OLS估计具有惟一解。该回归方程的 系数具有显着的统计意义：
表示中可以归因于频率的周期成分的那部分。这就是说，任意观测到的序列，它都可以利用上述周期函数形式表示，并且不同频率的周期成分对方差的贡献都可以在样本周期图中找到。
命题 假设样本容量是奇数，定义，并设定，，假设解释变量为：
则有：
进一步，假设是任意个实数，则下述推断成立：
(a) 过程可以表示为：
这里：
，，
(b) 的样本方差可以表示为：
样本方差可以归因于频率为的周期成分的部分为。
(c) 的样本方差中可以归因于频率为的周期成分的部分还可以表示为：
其中是样本周期图在频率处的值。
上述结果说明，是对角矩阵，这意味着包含在向量中的向量之间是相互正交的。这个命题断言：任何奇数个观测到的时间序列可以表示成为一个常数加上具有个不同频率的个周期成分的加权和。当是偶数整数的时候，类似的结果也是成立的。因此，这个命题给出了类似谱表示定理的有限样本的类似情况。这个命题进一步表明了样本周期图的特征是将的方差按部分分解为不同频率的周期成分的贡献。
注意到解释的方差的频率都落在区间中。为