文档介绍：龚昇： 数学历史的启示
一、百年前的讲演
一个世纪前，德国数学家希尔伯特（1862—1943）在巴黎国际数学家大会上作了题为《 数学问题》的著名讲演。，一些新的有力的工具、更简单的方法的发现,往往标志着 一个或多个数学分支的产生，标志着一些老的分支的衰落甚至完毕。
回忆一下我们从小开场学习数学的过程，，即“低级"的被“高级 "的所替代了,但在人们一生学习数学的过程中,却不能只学习“高级"的，而完全不学习 “低级"的，完全省略掉学习“低级”的过程。这是因为人们随着年龄的不断增长，学习和 他的年龄和智力相当的数学才是最正确选择。学习数学是一个循序渐进的过程，没有“低级” 的数学打好根底，很难理解和学习好“高级”的数学.
以下我们从希尔伯特讲演中这一段精辟的阐述的角度来认识我们的中小学的数学课程。 我只是从数学开展的历史的角度来讨论问题,为大家从数学教育的角度来讨论问题作参考. 但我必须强调的是:从数学开展的历史的角度来考虑问题和从数学教育的角度
来考虑问题虽 有联络，但两者是不一样的.
三、算术和代数
人类有数的概念，和人类开场用火一样古老，大约在30万年前就有了，但是有文字记载的数到公元前3400年左右才出现,至于数的四那么运算那么更晚。在我国，《九章算术》是古代数学最重要的著作，是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、、比例算法、盈缺乏术、解三元线性代数方程组、正负数 、开方和一些计算几何图形的面积和体积的方法等。在西方,也或迟或早地出现了这些内容，而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术" 经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容,如今每个人在童年时代花几年就全 部学会了。对于“算术”来讲，“真正的进展"是由于“更有力的工具和更简单的方法的发现”，这个工具和方法是“数字符号化”，从而产生了另一门数学“代数”，即如今中学中的“代数”，约13世纪五六十年代的著作中，有“天元术”和“四元术 ",也就是相当于如今用x，y，z,w来表述四个未知数。有了这些“元”，也就可以解一些代 数方程和联立线性代数方程组了。西方彻底完成数字符号化是在16世纪。如今中学学习的“ 代数"的内容包括：一元二次方程的解,多元（一般为二元、三元，至多四元）联立方程组 的解，等等。当然在“数字符号化"之前,一元二次方程的解、多元联立方程组的解已经出现，例如我国古代已经有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”，但这些都是用文字来表达的,直到“数字符号化”之后,才出现了如今中学代数内容的表达形式。
由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，确实实确是“数学中真正的进展”。 “代数”确实是“更有力的工具和更简单的方法”，“算术"顾名思义，可以理解为“计算的方法",而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化"。人类从“算术 ”走向“代数"经历了1000多年。但在中学的课程中，却只花短短的几年,就可以全部学会这些内容。
回忆我在童年时代,在小学学习“算术”课程时，感到很难。例如求解“鸡兔同笼”题 ，当
时老师讲的求解的方法，如今已完全记不得了，留下的印象是感到很难，而且纳闷的是 ：鸡和兔为何要关在一个笼子里？既然数得清有多少个头及多少只脚，为何数不清有多少只 鸡和多少只兔？等到初中时学习了“代数”课程,才恍然大悟，这不过是二元一次联立代数 方程组，解方程组非常简单方便,这不仅可以用来解“鸡兔同笼”，即使“鸭狗同室”的问题一样可以解。因此,“代数”显然比“算术"来得“高级”,这确实是“更有力的工具和 更简单的方法”，而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论，并把“陈旧的、复杂的 东西抛到一边”，也就是从“代数”的角度来理解“算术”,可以理解得更深化，且可以把 “算术”中一些复杂的、处理个别问题的方法抛到一边去.
在这里,我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”，是“ 更有力的工具和更简单的方法",但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了，因为：( 1）“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代,如四那么运算等；（2）即使能被替代 的内容，适当地学习一些，有利于对“代数”内容的认识和理解；（3）从教育学的角度考 虑，这里有循序渐进的问题，有学生不同年龄段的承受才能的问题，等等。
作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组。在中学“代数"的教材 中，一般着重