文档介绍：第六章二次型的正定性
第1页，共13页，2022年，5月20日，4点56分，星期一
定义5 设二次型
的任意一个标准形为
则其中正项项数称为f的正惯性指数，负项项数称为f的负惯性指数，正惯性指数与负惯性指数的和r称为第六章二次型的正定性
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定义5 设二次型
的任意一个标准形为
则其中正项项数称为f的正惯性指数，负项项数称为f的负惯性指数，正惯性指数与负惯性指数的和r称为f的惯性指数．
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例如，二次型
的正惯性指数等于3;
的正惯性指数等于3，负惯性指数等于1．
因此，二次型的惯性定理可以表述为二次型
的正惯性指数、负惯性指数及惯性指数在可逆线性变换
下都不变．
在二次型中，比较常用的是二次型的标准形的n个系数
全为正或全为负的情形．
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定义6 设二次型 ， 如果对任何非零向量X，都有
（1） ，则称f为正定二次型，且称矩阵A为正定矩阵；
（2） ，则称f为负定二次型，且称矩阵A为负定矩阵；
既不是正定二次型也不是负定二次型的二次型称为不定二次型
二次型的正定、负定或不定统称为二次型的正定性．
例如二次型 ，仅当
时，f = 0，除此之外，无论 取何值，总有
因此，f是正定二次型．
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定理8 （1）二次型
为正定的充分必要条件是：
它的标准形的n个系数全为正；
（2）二次型
为负定的充分必要条件是：
它的标准形的n个系数全为负；
推论 （1）n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：
A的n个特征值全为正．
（2）n阶实对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件是：
A的n个特征值全为负．
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由以上结论可知，要判断二次型的正定性，需将其化为
标准形或求出对称矩阵A的全部特征值．
下面将介绍一个利用矩阵的顺序主子式判断矩阵正定性的方法：
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定义7 n阶方阵
的左上角r阶方阵的行列式
称为A的r阶顺序主子式．
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定理9 （1）n阶实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要
条件是：
A的各阶顺序主子式都为正，即
（2）n阶实对称矩阵 为负定矩阵的充分必要
条件是：
A的奇数阶顺序主子式都为负，偶数阶顺序主子式都为正．
即
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例27 判别二次型
的正定性．
解 利用配方法将f化为标准形．
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令
则
由于二次型f的标准形的系数有正有负，故f不是正定二次型，
也不是负定二次型即f是不定二次型．
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例28 判别二次型
的正定性.
解 f的矩阵为
由于A的各阶主子式
故矩阵A的各阶顺序主子式都为正，从而二次型f是正定二次型．
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例29 判别二次型
的正定性．
解 f的矩阵为
由A的特征多项式
求得A的特征值为
因为A的3个特征值全为负，故A是负定矩阵，从而f是负定二次型．
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例30 t满足什么条件时，二次型
是正定的．
解 f的矩阵为
要使f为正定二次型，则矩阵A的各阶顺序主子式都应为正，
即
从而，得不等式组
即当 时，f是正定二次型．
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