文档介绍：逆矩阵的求法
定义1 阶方阵是可逆的,如果有阶方阵,使得,这里是阶单位矩阵,就称为的逆矩阵,记为
关于逆矩阵的求法经归纳大致分为以下几类.
利用矩阵可逆的定义求逆矩阵
设是一数域,对于,如果存在,使得,则可逆且
证明由逆矩阵的定义可得
例1 已知,设,求的逆矩阵
解因为,故有,即,那么,所以,即的逆矩阵是
从此例子可看出,只要有,则有,或者,则
利用伴随矩阵求逆矩阵
设,若,那么
证明设阶矩阵
由行列式等于它的任意一行(列)的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和,以及行列式的某一行(列)的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零,以下等式成立:
这里是行列式中元素的代数余子式,由此容易看出,若是令
那么
因为,由此可得
则有
例2 设求的逆矩阵.
解因为,所以是可逆的,又,由可得
利用分块矩阵求逆矩阵
如果方阵、可逆,那么分块矩阵可逆,且其逆矩阵为
如果方阵、可逆,那么分块矩阵
可逆,且其逆矩阵为
如果方阵和阶方阵都是可逆,且,那么阶方阵
可逆,且其逆矩阵为
证明假定有逆矩阵,将按的分法进行分块:
那么有
于是得
因为有逆矩阵,用左乘第二行的两个等式得
将代入上面第一个等式得再以左乘,得
再把代入等式中得
将第二项移到等号右端,再以左乘得
于是
直接验证可知
例3 求矩阵
的逆矩阵.
解将矩阵进行分块得
其中
又因为所以矩阵、都是可逆的,且
则有
那么矩阵可逆,且
利用初等变换求逆矩阵
在通过行(列)初等变换把可逆矩阵化为单位矩阵时,对单位矩阵施行同样的初等变换,就得到的逆矩阵.
证明因为可逆,则可逆,那么存在初等矩阵使得就有I即因此
例4 设设求
解
于是,
如果用有限次行、列初等变换可以将可逆矩阵化为单位矩阵,且设用其中的行变换将单位矩阵化成,用其中的列变换将单位矩阵化成,那么
证明设是一个阶可逆矩阵,则
()
其中都是阶初等矩阵,由此得:
()
又
()
那么
()
记比较()和()得
如果用有限次第三种行、列的初等变换可以将可逆矩阵化为对角型矩阵,且设用相应的初等变换将单位矩阵化成,那么
证明设是阶可逆矩阵,则因为是对角矩阵,故所以
求矩阵多项式的逆