第16课实对称矩阵的对角化.ppt

文档介绍：一、实对称矩阵的性质
二、实对称矩阵可对角化的条件(重点)
第三节实对称矩阵的对角化
性质1 实对称矩阵的特征值为实数.(证明略)
一、实对称矩阵的性质
性质1的意义
因为对称矩阵的特征值为实数,所以齐次线性方程组
又因为,可知该齐次线性方程组一定有实的
基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量。
是实系数方程组。
注
未必所有的实矩阵对应的特征值都是实数。
性质2 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量正交。
是依次与之对应的特征向量。
证设是对称矩阵的两个特征值,且
则
于是
为实对称矩阵,
即正交。
例:
A
(实对称矩阵必可对角化)
对于任一阶实对称矩阵,
其中是以的个特征值为对角元素的对角阵。
一定存在 n 阶正交矩阵使得
推论: 为阶实对称矩阵, 是的重特征值,
即的基础解系所含向量个数为
则对应于的特征向量中,线性无关的向量的个数为
(则)
知道结论即可
二、实对称矩阵(正交)对角化的结论
证明:
A为实对称矩阵,则A必可对角化。
即的基础解系所含向量个数为
例1 设
求正交矩阵,
使得为对角阵。
解
当时,齐次线性方程组为
得基础解系
令
当时,齐次线性方程组为
令
得基础解系
之间是什么关系?
令
先正交化:
再单位化:令
单位化得
得正交矩阵
唯一吗?