文档介绍：数值分析 非线性方程的牛顿法 (Newton Method of Nonlinear Equations )
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内容提纲(Outline)
牛顿法及其几何意义
收敛性及其收敛速度
计算实例及其程序演示
取x0作为初始近似值,将f(x)在x0做Taylor展开:
重复上述过程
作为第一次近似值
一、牛顿法及其几何意义
Newton
迭代公式
基本思路:将非线性方程f(x)=0 线性化
牛顿法的几何意义
x
y
x*
x0
x 1
x 2
牛顿法也称为切线法
(局部收敛性定理) 设 f (x)C2[a, b],若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根, 且 f (x*) 0,则存在 x* 的邻域使得任取初始值,Newton 法产生的序列{ xk } 收敛到 x*,且满足
至少平方收敛
二、牛顿法的收敛性与收敛速度
f (x)在x*附近二阶连续可微
在x*的附近收敛
由Taylor 展开:
令k,由 f (x*) 0,即可得结论。
证明:Newton法实际上是一种特殊的迭代法
思考题1
若,Newton法是否仍收敛?
设 x* 是 f 的 m 重根,则令:
且
Answer1: 有局部收敛性
Answer2: 线性收敛
思考题2
当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛?
结论:Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。
x*
x0
x0
x0
有根
根唯一
全局收敛性定理():设 f (x)C2[a, b],若
f (a) f (b) < 0;
在整个[a, b]上 f (x) 0;
f (x)在[a, b]上不变号
选取初始值x0 [a, b] 使得 f (x0) f (x0) > 0;
则由Newton法产生的序列{ xk } 单调地收敛到
f (x)=0 在[a, b] 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的
保证产生的序列{xk}单调有界
保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身