文档介绍：第三章初等矩阵与矩阵的秩
§2 矩阵的秩
§1 矩阵的初等变换
§1 矩阵的初等变换
●矩阵的初等变换的定义
●初等矩阵
●初等变换的应用
定义1
设,则以下三种变换称为矩阵
一、矩阵的初等变换的定义
的初等行变换:
⑴交换的两行;
记作
⑵用一个非零常数乘以的某一行;
记作
⑶用一个数乘以的某一行的各元素后再
加到的另一行对应的元素上去。
记作
同理,可定义矩阵的初等列变换:
定义2
设,则以下三种变换称为矩阵
一、矩阵的初等变换的定义
的初等列变换:
⑴交换的两列;
记作
⑵用一个非零常数乘以的某一列;
记作
⑶用一个数乘以的某一列的各元素后再
加到的另一列对应的元素上去。
记作
矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为初等变换。
等价关系的性质:
如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵,则称
矩阵与等价,
记作
⑴反身性
若
⑵对称性
,则
⑶传递性
若
,
,则
例如,对矩阵施行初等行变换,有
行阶梯矩阵
行阶梯形矩阵:
,线的
下方全为零;
2. 每个台阶只有一行;
3. 阶梯线的竖线后面的第一
个元素即为首非零元。
;
5. 这些首非零元所在的列的
其他元素全为0。
行最简形矩阵:
;
5. 这些首非零元所在的列的
其他元素全为0。
行最简形矩阵:
6. 左上角是一个单位矩阵,
其余元素全为0。
等价标准形矩阵:
二、初等变换的应用
1. 求逆阵

若方阵A可逆,A可以经过有限次的初等
行变换(初等列变换)化为单位矩阵E,即
这表明,可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵。其实,可
逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵。
利用初等变换求逆阵的方法:
设A可逆,
则
所以存在有限个初等矩阵
使
两端同时右乘
,便有
所以