文档介绍：PA+PB最小值模型
.1 .口诀：异侧和最小
：如图1所示，4、B为定点，P为l上一动点，试求PA+PB的最大值与最小值.
解析：“最小值”
两边之和大于第三边，PA+PB MAB,当A、B、P三点共线时，取等号
所以连( X - 2)2 + 9
顶点M的坐标为(2,9)
(3)存在，理由如下：
如图，由A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P，连接PA，此时PA + PC的值最小.
由 y = — x2 + 4x + 5 = —(x — 5)(x +1)知 A(-1,0)，B(5,0)，
B(5,0)， C(0,5)，设直线BC的解析式为y = mx + n(m丰0)，则有
[5m + n = 0
[n = 5 ，
解得『=；【点评】 思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.
如图1，已知抛物线y = — x2 + bx + c与一直线相交于A(—1,0)，C(2,3)两点，与y轴交于点E，其顶点为
D .
分别求抛物线、直线AC的函数关系式；
设点M为直线AC上一个动点，求MD + ME的最小值；
如图2，AACD，一直线平行于AD，交边AC于点M、交边CD于点N，使得AM = CN .求点M的 坐标.
[n = 5
直线BC的解析式为y = — x + 5
抛物线的对称轴x = 2
••• P(2,3)
图i E2
【分析】(1)用待定系数法即可求解； (2)设直线AC交j轴于点H(0,1)，作点E关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点M，则点M 为所求点，此时MD + ME最小，进而求解；
(3)求出点M、N的坐标，利用AM = CN，即可求解.
【解答】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：J0 = T — ： + C，解得\b = 2，
|3 = -4 + 2b + c lc = 3
故抛物线的表达式为j = -x2 + 2 x + 3
设直线AC的表达式为j = kx +1，则J0 = -k + *，解得Jk =1 |3 = 2k +1 \t = 1
故直线AC的表达式为j = x +1①;
(2)由抛物线的表达式知，点D(1,4)
如图1，设直线AC交j轴于点H(0,1)，作点E关于直线AC的对称点F
连接DF，交AC于点M，则点M为所求点，此时MD + ME最小，
理由：MD + ME = MF + MD = DF 为最小，
由直线AC的表达式知，直线AC与x轴的倾斜角为45。
连接HF
•.•EF 1 AC，故AEFH为等腰直角三角形，则FH = EH = 3 -1 = 2
点 F(2,1)
由点 F、D 的坐标知，FD =\；(2 — 1)2 +(4 — 1)2 =\10
故MD + ME最小值=DF =打0
(3)由点A、D的坐标知，直线AD的表达式为 j = 2 x + 2，
同理可得，直线CD的表达式为j = — x + 5②，
设平行于AD的直线为l，则设其表达式为j = 2x + r③，
联立②③并解得x****故点N只，土0) 3 3 3
联立①③同理可得，点M(1—t,2 -1)
'.'AM = CN
:.(1-t + 1)2 + (2 - t)2 =(干-2)2 + (t^10 - 3)2
解得t = 5或-(舍去7) 4 2 2
5
故t =-
4
故点 M (- 4, |)
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性等，有一定的综合性，难 度适中.
如图，抛物线j = ax2 + bx + c(a丰0)与x轴交于点A、5(1,0)，与j轴交于点C，直线j = -x- 2经过点A、 2
C .抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.
求抛物线的解析式；
设点E为x轴上一点，且AE = CE，求点E的坐标；
设点G是j轴上一点，是否存在点G，使得GD + GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在， 请说明理由.
【分析】(1)利用一次函数的性质求得点A、C的坐标，然后把点A、B、C的坐标分别代入二次函数解
析式，利用待定系数法求得二次函数解析式；
(2)设点E的坐标为(e,0)，则AE = 4 — e，根据勾股定理列方程可得点E的坐标；
(3)利用轴对称—最短路径方法得点G，先计算BD的解析式，令x = 0可得点G的坐标.
【解答】解：(1)如图1，对于直线j = 1 x — 2，令j = 0，得x = 4
2
\
令 x = 0，得 j = —