经典求极限方法.docx

文档介绍：精心整理
求极限的常用方法典型例题
1．约去零因子求极限
lim

x41
例1：求极限x1x1
【说明】x
1表示x与1无限靠近，但
x
1，所以x
1这一零解】
x
x
x
lim
1
lim
2a
8
1
2
例6：(1)
x
x
；(2)
已知
x
x
a
，求a。
5．用等价无穷小量代换求极限
常有等价无穷小有：

2
1
2
e2
当x
0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex
1,
1cosx~1x2,1axb
1~abx
2
；
等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；
此方法在各样求极限的方法中应作为首选。
limxln(1x)
例7：求极限x01cosx
lim
xln(1
x)
lim
x
x
2
1cosx
1
x0
x0
x
2
【解】
2
.
limsinx
x
例8：求极限x0
tan3x
lim
sinx
x
sinx
x
cosx1
lim
21x2
1
tan3x
lim
x3
lim
2
2
6
【解】x0
x0
x
03x
x03x
6．用罗必塔法例求极限
limlncos2x
ln(1
sin2
x)
例9：求极限x0
x2
0
【说明】
或0型的极限,可经过罗必塔法例来求。
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sin2x)
2sin2x
sin2x
lncos2x
ln(1
lim
cos2x
1
sin2x
lim
x
2
2x
【解】
x
0
x0
【注】很多改动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法例求解
x
(x
t)f(t)dt
0
lim
x
f(x
.
例10：设函数f(x)连续，且
f(0)
x0
x
t)dt
0，求极限
0
x
xt
u
0
du)
x
【解】由于
f(x
t)dt
f(u)(
f(u)du
,于是
0
x
0
x
(x
t)f(t)dt
x
x
x
x
f(t)dt
tf(t)dt
f(t)dtxf(x)xf(x)
lim0
x
lim
0
x
0
lim
0
x
x0x
f(xt)dt
x0
x
f(u)du
x0
f(u)duxf(x)
0
0
=
0
x
f(t)dt
0
lim
x
x
x0
f(u)du
f(0)
1
0
f(x)
.
=
x
=f(0)
f(0)
2