文档介绍：****题十七特征值与特征向量相似矩阵
一、填空题:
;若是阶方阵的个特征值,则,。
,则 6 , 2/9 。
,有非零解,则必有一特征值为 0 。
,则有一特征值为,对应于此特征值的一个特征向量是。
,则有一特征值为。
,则-2,1 。
二、求下列矩阵的特征值和特征向量:
1. 2.
解:, 解:
因此,。因此
当时,解方程组, 当时,解方程组
故属于的特征向量为。故属于的特征向量为。
当时,解方程组, 当时,解方程组
故属于的特征向量为。故属于的特征向量为,
其中不全为零。
三、设方阵与相似,求。
解:因为与相似,所以,从而,
,即
,所以。
四、设三阶方阵的特征值为,,,对应的特征向量依次为,
,,求。
解:令,则
,
所以,
=。
五、设是阶阵的特征值,,分别是的属于的特征向量,证明:不是的特征向量。
证明:用反证法。若是的属于某特征值的特征向量,则
, (1)
由于分别是的属于的特征向量,所以
, (2)
由(1)、(2)可得:
,
所以
,
因为,所以线性无关,因此。矛盾。
六、设是阶方阵,证明:与有相同的特征值。
证明:下证当是的特征值时也是的特征值,反之亦然。
当时,
=
=
=。
当时,
。
所以,与有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。
七、证明:
如果可逆,则与相似。
2)如果可逆,,则。
3)如果与相似,与相似,则与相似。
证明:1)因为可逆,所以所以与相似。
2)因为可逆,,所以,所以可逆。
存在可逆矩阵,使得,两边取逆从而有
,即
,亦即,所以。
3)如果与相似,与相似,则分别存在可逆矩阵使得
,
令,则,从而
=。因此与相似。<br****题特征值与特征向量相似矩阵(续)
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填空题:
,则与的特征值相同;阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量。
,是的对应于的一个特征向量,是矩阵的一个多项式矩阵,则的特征值是,其相应的一个特征向量是。
,则 1,-2 。
,的个特征值分别为,则!!。
二、已知是矩阵的一个特征向量。
1)试确定系数及特征向量所对应的特征值。
问在实数范围内能否相似于对角阵?说明理由。
解:1)设是的对应于特征值的特征向量,则
所以,,从而。
2)
上述特征方程在实数范围内只有一个解
因此在实数范围内不能相似于对角阵。
三、判断下列矩阵是否与对角阵相似,如果相似,求出相似变换矩阵,使得为对角阵:
1. ;
解:由知的特征值为当时,解方程组,
是的属于的线性无关的特征向量,当时,解方程组,
是的属于的线性无关的特征向量,由于只有两个线性无关的特征向量,所以不可与对角阵相似。
2.。
解:由知的特征值为当时,解方程组,
是的属于的线性无关的特征向量,当
时,解方程组,
是的属于的两个线性无关的特征向量。所以,可与对角阵相似。令
则有。
四、设矩阵与矩阵相似,其中,。1)求和的值;2)求可逆矩阵,使得。
解:1)因为矩阵与矩阵相似,所以有相同的特征值、迹。由于
,所以有特征值-2,注意到的特征值为所以。又由可得:,。
2)当时解方程组可得是的属于特征值的特征向量。类似可得是的属于特征值的特征向量。是的属于特征值的特征向量。令,则有。
五、设,求1)的所有特征值与特征向量;2)判断能否对角化,若能对角化,则求出相似变换矩阵,使化为对角形矩阵。3)计算。
解:1)由知的三个特征值分别为,当时,解方程组可得是的属于特征值的所有特征向量(。类似可得是的属于特征值的所有特征向量。是的属于特征值的所有特征向量。
由1)知有三个不同的特征值,因此可对角化。令,则
;3)由2),。
注:由1)知,是(也是)的属于特征值1的特征向量。
六、设矩阵有三个线性无关的特征向量,则和应满足什么条件?
解:由
可知,的特征值为。此时矩阵可对角化,因此,对应于二重特征值1,应有两个线性无关的特征向量。从而。
,
所以,。<br****题十九实对称矩阵的性质及其标准型
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一、填空题:
,其不同的特征值所对应的特征向量正交。
,,是三阶实对称阵的三个不同特征值所对应的特征向量,则 1 , 1 。
二、设三阶实对称矩阵