文档介绍：计算方法 插值法
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插值法
许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系
但函数表达式无法给出，只有通过实验或观测得到的数据表
如何根据这些数据推测或估抛物线插值
两种特殊情形
n=1
线性插值多项式（一次插值多项式）
n=2
抛物线插值多项式（二次插值多项式）
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插值举例
例：已知函数 y = lnx 的函数值如下
解：
x
lnx
-
-
-
-
-
试分别用线性插值和抛物线插值计算 ln 的近似值
线性插值：取 x0=, x1= 得
将 x= 代入可得：
ln L1() =-
为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点
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插值举例
抛物线插值：取 x0=, x1=, x2=, 可得
ln L2() =-
在实际计算中，不需要给出插值多项式的表达式
ln 的精确值为：-···
可见，抛物线插值的精度比线性插值要高
Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。
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误差估计
如何估计误差
插值余项
定理
设 f(x) Cn[a, b] ( n 阶连续可微 )，且 f (n+1)(x)
在 (a, b) 内存在，则对 x[a,b]，有
其中 x(a, b) 且与 x 有关,
证明：
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插值余项
由插值条件可知： Rn(xi)=0, i=0, 1, …, n
Rn(x) 在[a,b]上至少有 n+1 个零点
对任意给定的 x[a,b] (x xi , i =0, 1, ..., n)，构造辅助函数
则 在 [a, b] 中有 n+2 个互不相同的零点：x, x0 , … , xn
Rn(x) 可写成
罗尔
定理
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插值余项
由Rolle定理可知 在 (a, b) 内至少有 n+1 个不同的零点；
同理可知 在 (a, b) 内至少有 n 个零点；
又
f(x) Cn[a, b]，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在
以此类推，可知 在 (a, b) 内至少有一个零点，设为 x ，即 ，x (a, b)。
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插值余项
余项公式只有当 f(x) 的高阶导数存在时才能使用
几点说明
计算插值点 x 上的近似值时，应选取与 x 相近插值节点
如果 ，则
x 与 x 有关，通常无法确定, 实际使用中通常是估计其上界
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Lagrange基函数性质
Lagrange 基函数的两个重要性质
当 f(x) 为一个次数 n 的多项式时，有 故
即 n 次插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的
若 f(x) = xk，k n，则有
特别地，当 k = 0 时有
Lagrange 基函数的两个重要性质
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插值误差举例
例：已知函数 y = lnx 的函数值如下
x
lnx
-
-
-
-
-
试估计线性插值和抛物线插值计算 ln 的误差
解：
线性插值
x0=, x1=, (, )
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