文档介绍：量子力学
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定理2：可以找到方程（3）的一组实解，则方程（3） 的一个解可表示成这组实解的叠加。
定理3：设V(x)具有偶宇称V(-x)=V(x), 系统的能量是量子的。
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（4）由归一化条件定系数 A
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最后得：
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[小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S—方程的一般步骤如下：
三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）,
确定未知数和能量本征值；
四、由归一化条件定出最后一个待定系数
（归一化系数）。
一、列出各势域上的S—方程；
二、求解S—方程；
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作 业
P49 ()
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§ 一维谐振子
（一）引 言
（1）何谓谐振子
（2）为什么研究线性谐振子
（二）线性谐振子
（1）方程的建立
（2）求解
（3）应用标准条件
（4）厄密多项式
（5）求归一化系数
（6）讨论
（三）实 例
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（一）引言
（1）何谓谐振子
量子力学中的线性谐振子就是指由该式所描述的势场中运动的粒子。
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
其解为 x = Asin(ωt + δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
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（2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：
a
x
V(x)
0
V0
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取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。
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（二）一维线性谐振子
（1）方程的建立
（2）求解
（3）应用标准条件
（4）厄密多项式
（5）求归一化系数
（6）讨论
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（1）方程的建立
线性谐振子的 Hamilton量：
则 Schrödinger 方程可写为 ：
引入无量纲变量ξ代替x，
改写成：
得到：
此式是变系数二阶常微分方程，式中
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（2）求解
为求解方程，我们先看一下它的渐
近解，即当 ξ→±∞ 时波函数
ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2，
于是方程变为：
其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，
1. 渐近解
欲验证解的正确性，可将其代回方程，
ξ2 >> ± 1
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ψ∞ = exp[f(ξ)]，
对渐近方程
的二阶导数还等于，则并且方程
中第二项的系数为负，解的函数
形式应是指数形式，于是设解：
方程变为：
整理得：
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将 f 作级数展开
带入方程得：
得到：
当ξ→±∞ 时，为避免方
程发散，要求高阶项为零：
同时，因为ξ→±∞，低阶
项为低阶无穷小，可略去：
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