等价无穷小替换-极限的计算.doc

文档介绍：西南石油大学?高等数学?专升本讲义
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无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
1 其中是自变量在同一变化过程〔或〕中的无穷小.
证：〔必要性〕设令那么有
〔充分性〕设其中是当时的无穷小，那么

【意义】
〔1〕将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
〔2〕

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如：，，
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比拟
例如，观察各极限：
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不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢〞程度不同.
1．定义: 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且
例1
证：
例2
解
2．常用等价无穷小:
〔1〕～； 〔2〕～； 〔3〕～；
〔4〕～； 〔5〕～； 〔6〕～
〔7〕～ 〔8〕～ 〔9〕～
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
例如
3．等价无穷小替换
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定理：
证：
例3 〔1〕； 〔2〕
解: 〔1〕 故原极限= 8
〔2〕原极限==
例4
错解: =0
正解:
故原极限
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5
解:
原式
三、极限的简单计算
1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，假设存在，即为其极限，例如；假设不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，
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就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法
例如，。
3. 分子〔分母〕有理化法
例如，



又如，
4. 化无穷大为无穷小法
例如，，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出
又如，，〔分子分母同除〕。
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