文档介绍：直线与圆的位置关系
切线长定理
作经过一定点C的圆的切线.
思考:定点C在圆的什么位置?
C
O
O.
C
(1)点C在圆上.
(2)点C在圆外.
作法:连接OC,过点C作AB⊥.
B
A
证明:直线AB经过点C,并且AB⊥,AB就是⊙O的切线,切点是点C.
作法:连接OC,以OC为直径的圆为⊙O1,与⊙O 相交于两点P和P′.连接CP和CP′,则CP和CP′都是过已知点C所引⊙O的切线.
P
P′
O1
证明:∵∠OPC是⊙O1内半圆上的圆周角,
∴∠OPC=90°. ∴PC⊥OP.
又∵OP是⊙O的半径,PC经过点C,∴PC就是所要作的切线.
同理,CP′也是所要作的切线.
尺规作图:
过⊙O外一点作⊙O的切线
O
·
P
A
B
O
请跟我做
在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗?
切线长概念
·
·
它们有什么区别与联系呢?
切线和切线长是两个不同的概念:
1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量;
2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量。
切线和切线长
O
P
A
B
比一比
O
A
B
P
思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B为切点,把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?
1
2
折一折
请证明你所发现的结论。
A
P
O
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点
∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB,OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言叙述你所发现的结论
证一证
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
几何语言:
反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
切线长定理
A
P
O
B
若连结两切点A、B,?并给出证明.
OP垂直平分AB
证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
M
试一试
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴PC=PC
∴△PCA ≌△PCB ∴AC=BC
C