文档介绍：立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
1． 空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，那么l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平1(0,0,2)，
∴＝(0，－1,1)，
＝(0，－1,2)，
∴cos〈，〉＝＝.
题型二 求直线与平面所成的角
例2 如图，四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，
垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．
(1)证明：PE⊥BC；
(2)假设∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
思维启迪 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，此题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量．
(1)证明 以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，
线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，
那么A(1,0,0)，B(0,1,0)．
设C(m,0,0)，P(0,0，n) (m<0，n>0)，那么D(0，m,0)，E.
可得＝，＝(m，－1,0)．
因为·＝－＋0＝0，所以PE⊥BC.
(2)解 由条件可得m＝－，n＝1，
故C，D，E，
P(0,0,1)．
设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，
那么即
因此可以取n＝(1，，0)．又＝(1,0，－1)，
所以|cos〈，n〉|＝.
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.
思维升华 利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
(2022·湖南)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
方法一 (1)证明 如图，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.
又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，
而B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D.
(2)解 因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．
如图，连接A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，
所以A1B1⊥平面ADD1A1，从而A1B1⊥AD1.
又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形．
于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.
由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.
故∠ADB1＝90°－θ，
在直角梯形ABCD中，
因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.
从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，
即AB＝＝.
连接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，
即cos(90°－θ)＝.从而sin θ＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
方法二 (1)证明 易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A
为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建
立空间直角坐标系．
设AB＝t，那么相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，
C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)，
因为·＝－3＋3＋0＝0，
所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)解 由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，
＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，
那么，即
令x＝1，那么n＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，那么
sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
题型三 求二面角
例3 (2022·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是
AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
思维启迪 根