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最新奥数数论基础知识总结
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一 质数和合数
（1）一个数除了1和它本身，不再那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,
那么（2×7）｜28。
性质4：（整除的传递性）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
（３）数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。突破口
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 判断能被3（或9）整除的数还可以用“弃３（或９）法”：
例如：８３５１７４６能被９整除么？
解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在数字中只剩７，７不是９的倍数，所以８３５１７４６不能被９整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
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⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，依此反复检验。 例如：判断3546725能否被13整除？
解：=，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.
上述办法也可以用来判断余数和末位数；
对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。
三 约数与倍数
（１）公约数和公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中的一个，叫做这几个数的公约数。
例如：４是１２和１６的公约数，可记做：（１２ ，１６）＝４ （２）公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
（３）公约数和最小公倍数的关系
如果用a和b表示两个自然数
１、那么这两个自然数的公约数与最小公倍数关系是：
（a，b）×[a，b]=a×b。
（多用于求最小公倍数）
２、（a，b） ≤ a ，b ≤ [a，b]
３、[a，b]是（a，b）的倍数，（a，b）是[a，b]的约数
４、（a，b）是a＋b 和a－b 的约数，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－
[a，b]的约数
（４）求公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。
例如：１、（短除法）用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数是多少？
解：∵
（30，60，75）=5×3=15
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这个数是15。
２、（分解质因数法）求１００１和３０８的公约数是多少？
解：１００１＝７×１１×１３（这个质分解常用到） ， ３０８＝７