文档介绍：第四讲插值与拟合之插值(上)
内容:插值是离散函数逼近的重要方法,利用它
可通过函数在有限个点处的取值状况,估
算出函数在其他点处的近似值
目的:学****插值的基本思想和方法,掌握Matlab
的一维/二维等距和非等距插值函数
要求:掌握Matlab插值函数,处理插值应用问题
了解拉格朗日和分段线性插值的基本思想
了解三次样条插值的提法和思路
掌握插值函数 interp interp1 interp2 griddata
掌握水塔用水量的计算(水位-体积-流速-积分)
关于插值与拟合的区别…
面对工程实践和科学计算中的采集得到数据(xi,yi),我们总是试图去揭示x与y之间的关系,即用近似的y=f(x)来表示,那么我们通常可以采用两种方法:插值与拟合
插值与拟合的区别在于——
插值试图去通过已知点了解未知
点处的函数值;而拟合则在于在
整体上用某种已知函数去拟合数
据点列所在未知函数的性态。
关键区别在于插值要求必须经过已知点列,拟合只求尽量靠近不必经过!拟合将在本讲下介绍~
引例1 函数查表问题:
已知标准正态分布函数表,求表中没有的值
()= ()=
求~
() ≈(-)/(-)* ()+
(-)/(-)* ()
引例2 地图绘制问题:
假如我们在地图边界获取了一些边界点的坐标,连接这些边界点形成闭合曲线,可以用来近似表示真实边界线,如何更准确地逼近真实边界线?
函数查表与地图边界线绘制
()=?
如何更准确地逼近真实边界线?
插值在数码图像放大中的应用
引例3 图像插值放大:
数码相机运用插值的方法可以创造出比传感器实际像素更多的图像,这种处理称为“数码变焦”。
106*40原始图像:
左边:
最近邻插值
放大450%
右边:
双三次插值
放大450%
插值在图像三维重建中的应用
Surface recostruction from scattered points cloud
分段线性插值和拉格朗日插值
分段线性插值:
用直线(线性)连接数据点列上相邻的两点。
比如~在两点[xi-1,xi]上线性插值函数为~
拉格朗日插值:
用n次拉格朗日插值多项式
连接数据点列上相邻的n+1个点。Pszjs71
拉格朗日插值基函数的构造
比如在三个点[x0,x1,x2]上lagrange插值函数为
(线性插值是拉格朗日插值最简单的情形)
分段三次埃尔米特插值条件数
分段三次埃尔米特插值:
线性插值在每一小段上(两点之间),用到2个条件q(xi)=yi,所以确定了一个线性插值函数;三次埃尔米特插值在每一小段上,用到4个条件q(xi)=yi, q'(xi)=y'i,所以确定一个3次多项式插值函数。
分段插值主要是为了避免高次插值可能出现的大幅度振荡现象,在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度,比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数,但它们的总体光滑性较差,为了克服这一缺点,三次样条插值成为比较理想的工具。
三次样条(spline)插值的概念
样条的概念出自工程设计和机械加工(飞机、船舶外形曲线设计)中的绘图工具(曲线尺),简单说就是具有连续二阶导数的三次插值多项式函数。