文档介绍：第五讲非线性规划的基本概念
非线性规划问题
非线性规划数学模型
非线性规划的图解法
梯度、Hesse矩阵、Jacobi阵
凸函数和凸规划
解非线性规划方法概述
一维最优化
在科学管理和其他领域中,大量应用问题可以归结为线性规划问题,但是,也有另外许多问题,其目标函数和(或)约束条件很难用线性函数表达。如果目标函数和(或)约束条件中包含有自变量的非线性函数,则这样的规划问题就属于非线性规划。
非线性规划是运筹学的重要分支之一。最近30多年来发展很快,不断提出各种算法,而其应用范围也越来越广泛。比如在各种预报、管理科学、最优设计、质量控制、系统控制等领域得到广泛且不短深入的应用。
一般来说,求解非线性规划问题比线性规划问题困难得多。而且,也不象线性规划那样有单纯形法这一通用的方法。非线性规划的各种算法大都有自己特定的使用范围,都有一定的局限性。到目前为止还没有适合于各种问题的一般算法,这是需要深入研究的一个领域。我们只是对一些模型及应用作简单介绍。
非线性规划问题举例
例一:选址问题
设有个市场,第个市场位置为,它对某种货物的需要
量为。现计划建立个仓库,第个仓库的存储
容量为试确定仓库的位置,使各仓库对各市场的
运输量与路程乘积之和为最小。
设第个仓库的位置为第个仓库到第
个市场的货物供应量为则第个
仓库到第个市场的距离为
目标函数为
约束条件为
(1)每个仓库向各市场提供的货物量之和不能超过它的存储容量。
(2)每个市场从各仓库得到的货物量之和应等于它的需要量。
(3)运输量不能为负数
例2. 木梁设计问题
把圆形木材加工成矩形横截面的木梁,要求木梁高度
不超过,横截面的惯性矩(高度的平方宽度)不小
于,而且高度介于宽度与4倍宽度之间。问如何确定木
梁尺寸可使木梁成本最小.
设矩形横截面的高度为, 宽度为,则圆形木材的半径
而木梁长度无法改变,因此成本只与圆形
木材的横截面积有关。
目标函数为
约束条件为
(1)数学规划模型的一般形式:
其中,
简记为MP(Mathematical Programming)
2 非线性规划问题的数学模型
(2)简记形式:
引入向量函数符号:
(3)数学规划问题的分类:
若为线性函数,即为线性规划(LP);
若至少一个为非线性,
即为非线性规划(NLP);
对于非线性规划,若没有,即X=Rn,称为
无约束非线性规划或无约束最优化问题;
否则称为约束非线性规划或约束最优化问题。
(4)可行域和可行解:
称
为MP问题的约束集或可行域。
若x在X内,称x为MP的可行解或者可行点。