文档介绍：高等数学线性代数
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线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是
某一类事物从量的方面高等数学线性代数
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线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是
某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题
看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际
问题．
一、线性空间的定义
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若对于任一数 与任一元素 ，总有唯
一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，
记作
定义１ 设 是一个非空集合， 为实数域．如果
对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元
素 与之对应，称为 与 的和，记作
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如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那
么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）．
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2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组．
3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定
义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条
性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
说明
1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．
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（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运
算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运
算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ．
线性空间的判定方法
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通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
算满足线性运算规律．
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例４ 正弦函数的集合
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空
间．
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是一个线性空间.
例５ 在区间 上全体实连续函数，对函数的
加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性
空间．
一般地
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例６ 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法
及乘数运算为
验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运
算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是
否满足八条线性运算规律．
证明
所以对定义的加法与乘数运算封闭．
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下面一一验证八条线性运算规律：
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所以 对所定义的运算构成线性空间．
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不构成线性空间．
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
例７ 个有序实数组成的数组的全体
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1．零元素是唯一的．
证明
假设 是线性空间V中的两个零元
素，
由于
所以
则对任何 ，
有
二、线性空间的性质
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2．负元素是唯一的．
证明
假设 有两个负元素 与 ，
那么
则有
向量 的负元素记为
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证明
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4．如果 ，则 或 .
证明
假设
那么
又
同理可证：若 则有
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三、线性空间的子空间
定义2 设 是一个线性空间， 是 的一个非空子
集，如果 对于 中所定义的加法和