文档介绍：第四章方差与协方差
例如, 某零件的真实长度为a, 现在用甲、乙
两台仪器各测量10次, 并将测量结果 X 用坐标上的点表示如图：
问: 哪台仪器的测量效果好一些？
甲仪器测量结果
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪第四章方差与协方差
例如, 某零件的真实长度为a, 现在用甲、乙
两台仪器各测量10次, 并将测量结果 X 用坐标上的点表示如图：
问: 哪台仪器的测量效果好一些？
甲仪器测量结果
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果更集中在均值附近.
测量结果的
均值都是 a
为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量
随机变量在其中心 (即均值) 附近取值的离散程度(或集中程度). 这个数字特征就是: 方差.
再如: 考察某车床加工轴承的质量时, 若
最关键的指标为长度, 则不但要注意轴承的平均
长度, 同时还要考虑轴承长度与平均长度的偏离
程度 (即加工的精度); 等等.
我们该用怎样的量去度量这种偏离程度呢?
X − E(X) ?
E[ X − E(X) ] ?
E[ | X − E(X) | ] ?
E{ [ X − E(X) ]2 }
一、方差( variance )的定义
随机变量 X 的平方偏差 [ X − E(X) ]2 的均值
记作
或 Var ( X ) ,
叫做 X 的方差.
而
记作
叫做 X 的标准差
或均方差.
方差刻划了随机变量取值的离散程度:
若 X 的取值比较集中, 则方差较小；
若 X 的取值比较分散, 则方差较大 .
如: 据以往记录, 甲乙两射手命中环数 X、Y 的分布律为
X 6 7 8 9 10
P
Y 6 7 8 9 10
P
及
可以算出:
两人命中环数的平均水平相同, 从中看不出两人射击技术的
高低;
但
说明甲的命中环数比乙的更集中,
即甲的射击技术比乙的稳定.
二. 方差的简化计算公式
即: 方差等于 平方的期望 减 期望的平方.
证明:
例: 设 X 的概率密度为
且 D( X ) = 1/18, 求 a, b 及 E( X ).
而
解:
由归一性得
故
解得 b = 0, a = 2, E( X ) = 2/3
或b = 2, a = −2, E( X ) = 1/3 .
例:
设 (X, Y) 的概率密度为
试求 D( X ), D( Y ) .
解:
x
y
0
1
y=x
三. 常见分布的期望与方差
(3)
则
(2)
则
(1)
则
(4)
则
(5)
则
一、协方差
随机变量 X 和 Y 的协方差
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,
对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征
中, 最重要的就是协方差和相关系数.
§3 协方差(Covariance)和相关系数
1. 定义:
(1) Cov( X, Y )= Cov( Y, X )
(2) Cov( a X, b Y ) = a b Cov( X, Y ) , a, b 是常数
(3) Cov( X1 + X2 , Y )= Cov( X1 , Y ) + Cov( X2 , Y )
2. 简单性质:
3. 协方差的简化计算公式:
Cov( X, Y ) = E( X Y ) − E( X ) E( Y )
可见，若 X 与 Y 独立, 则 Cov( X, Y ) = 0 .
4. 随机变量和的方差与协方差的关系
D ( X+Y )= D( X ) + D( Y ) + 2Cov( X, Y )
二、相关系数
1. 定义:
设 D( X ) > 0, D( Y ) > 0, 称
为随机变量 X 和Y 的相关系数.
注: 相关系数也叫标准协方差, 其实是标准化
随机变量
的协方差.
与
2. 相关系数的性质:
存在常数a, b 使
即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.
可见相关系数刻划了 X 和 Y 间“线性相关”的程度.
的值越接近于 1, Y 与 X 的线性相关程度越高;
的值越接近于 0, Y 与 X 的线性相关程度越弱;
则 Y 与 X 有严格线性关系;
若
若
则Y 与X 无线