抽象函数经典习题.docx

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抽象函数问题有关解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这局部知识，能加深学 D C C D
5．〔1〕如，〔2〕在中，令．得：．因为，所以，．〔3〕要判断的单调性，可任取，且设．在条件中，假设取，则条件可化为：．由于，所以
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．为比较的大小，只需考虑的正负即可．在中，令，，则得．∵时，，
当时，．又，所以，综上，可知，对于任意，均有．∴．∴函数在R上单调递减，〔4〕假设则，则不等式，由函数在R上单调递减，则，则不等式的解集为。
练习二
，满足，则等于〔　〕
A．0 B．1 C． D．
、，函数满足。
〔1〕求证：；〔2〕求证：为偶函数。
，且满足对于任意的正实数、，都有
，且
〔1〕求的值；〔2〕解不等式
、，都有，假设，则以下结论中不正确的选项是〔〕
A． B． C． D．
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，且，当时，。
〔1〕判断f(*)的奇偶性，并加以证明；〔2〕试问：当-3≤≤3时，，求出最值；如果没有，说明理由。
(*)为奇函数，且在〔0，+〕内是增函数，又f(2)=0，则的解集为〔〕
A．〔-2，0〕〔0，2〕 B．〔-，-2〕〔0，2〕
C．〔-，-2〕〔2，+〕 D．〔-2，0〕〔2，+〕
7. 设对满足的所有实数，函数满足，求的解析式。
8. 函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数的奇偶性。
9.〔09年东城区示*校质检一〕〔本小题总分值14分〕
设函数的定义域为全体，当时，，且对任意的实数，有成立，数列满足，且
〔Ⅰ〕求证：是上的减函数；
〔Ⅱ〕求数列的通项公式；
10.〔09届华南师大附中综合测试题〕
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设函数满足，且对任意，都有.
〔Ⅰ〕求的解析式；
〔Ⅱ〕假设数列满足：且, 求数列的通项；
：对于，令，得即，
从而，所以，选D。
：〔1〕令，得，所以。
令，得，所以。
〔2〕令，得，
令，得，从而我们有：，
所以，为偶函数。
3. 解析：〔1〕
〔2〕
由函数是定义在上的增函数，则即，
依题设，有，，从而不等式的解集为。
4. 解析：满足对一切正实数、都成立的函数模型是对数函数。
由，可知，从而可知是减函数，所以，应选B。
：⑴令*=y=0，可得f(0)=0
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令y=-*，则f(0)=f(－*)+f(*)，∴f(－*)= －f(*)，∴f(*)为奇函数
⑵设－3≤*1＜*2≤3，y=－*1，*=*2
则f(*2－*1)=f(*2)+f(－*1)=f(*2)－f(*1)，因为*＞0时，f(*)＜0，
故f(*2－*1)＜0，即f(*2)－f(*1)＜0。
∴f(*2)＜f(*1)、f(*)在区间[－3，3]上单调递减
∴*=－3时，f(*)有最大值f(－3)=－f(3)=－f(2+1)=－[f(2)+f(1)]=－[f(1)+f(1)+f(1)]=6。
*=3时，f(*)有最小值为f(3)= －6。
：因为f(*)是定义域上的奇函数，所以f(*)的图像关于原点对称。根据题设条件可以作出函数f(*)在R上的大致图象，由得：*与f(*)异号。由图像可得解集为〔-2，0〕〔0，2〕，选择〔A〕。
：在〔1〕
中以代换其中，得：
再在(1)中以代换*，得
化简得：
评析：如果把*和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给*些变量适当赋值，使之在关系中“消失〞，进而保存一个变量，是实现这种转化的重要策略。
：取得：，所以
又取得：，所以
再取则，即
因为为非零函数，所以为偶函数。
：〔Ⅰ〕令，得，
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