文档介绍：第一章复数与复变函数
一、复数几种表示
1）代数表示zxyi
2）几何表示：用复平面上点表示
（复数z、点z、向量z视为同一看法）
（3）三角式：
计算方法：
（1）第二类曲线积分计算
（2）化为一般定积分
重要结果：
1
dz
2i,n1
|zz0
|r
n
（n为任意整数）
0,n1
(zz0)
二、柯西积分定理
定理1（柯西积分定理）设f(z)在单连通地域D内分析，C为D内任意一条简单闭曲
线，则f(z)dz0。
C
注：条件变成f(z)在单连通地域D内分析，在D的界限C上连续，结论成立，即
f(z)dz0。
C
定理2设f(z)在单连通地域D内分析，则积分与路径没关。
zz
记积分为f(z)dz，或f( )d
z0z0
原函数定义
z
f( )d
是f(z)的原函数。
结论：F(z)
z0
z1
(
)
(
)（条件：
是分析函数）
( )
f(z)
fzdz
F
z1
F
z0
z0
定理3（闭路变形原理）（柯西积分定理推行到多连通地域）
C1,C2是两条简单闭曲线，C2在C1内部，f(z)在C1,C2所围地域D内分析，在C1,C2上
连续，则
注：定理3说明：地域内的分析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在地域内的连续变
动而改变它的值。
三、柯西积分公式
定理1（柯西积分公式）f(z)在简单闭曲线C上连续，C的内部分析（即单连通地域D内分析），z0是C的内部一点，则
注：（1）D为多连通地域时，公式仍成立。
（2）供给了计算积分的一种方法。
推论1（均匀值公式）设f(z)在|zz0|R内分析，在|zz0|R上连续，则
定理2（最大模原理）设f(z)在地域D内分析，又f(z)不是常数，则在D内|f(z)|没
有最大值。
推论1地域D内的分析函数，若其模在D内一点达到最大值，则此函数被常数。（定
理2的逆否命题）
四、分析函数的高阶导数
定理1（分析函数的高阶导数）设在C上连续，则f(z)的各阶导数均在
f(z)在简单闭曲线
D内分析，且对D内
C所围的单连通地域z有
D内分析，
f(n)(z)
n!
f( )
d，或
C(
f( )
d
2if(n)(z)
2iC(
z)n1
z)n1
n!
注：由柯西积分公式f( )d2if(z)求导即得。
z