文档介绍：第5讲:椭圆
一、椭圆及其方程
1、椭圆的定义:把平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
其中:这两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点的距离叫做焦距(记为2c)
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
2、椭圆的标准方程:
(>>0) (>>0)
注意:
(1)只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
(2)在椭圆的两种标准方程中,都有和;
(3)已知方程判断焦点位置的方法是:看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上
(4)当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,
3、求椭圆标准方程的常用方法:
(1)待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。即:主要步骤是先定位,再定量;
注:焦点所在坐标轴的位置不确定时设椭圆标准方程要分两种情形;为了计算方便,有时也可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)。
(2)定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
例2 .已知椭圆的一个焦点为(0,2)求= .
分析:把椭圆的方程化为标准方程,由,根据关系可求出的值.
解:,所以,解得.
又,所以,.
,且经过点,,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,,运用待定系数法,求出参数和(或和)的值,即可求得椭圆的标准方程.
解:当焦点在轴上时,设其方程为.
由椭圆过点,,代入得,,故椭圆的方程为.
当焦点在轴上时,,知.
又,联立解得,,故椭圆的方程为.
,对称轴为坐标轴,且经过和两点的椭圆方程
分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,
可设其方程为(,),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.
解:设所求椭圆方程为(,).由和两点在椭圆上可得
即所以,.故所求的椭圆方程为.
,求的取值范围.
解:由得,且.∴满足条件的的取值范围是,且.
说明:本题易出现如下错解:由得,故的取值范围是.
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件,当时,并不表示椭圆.
,和两边上中线长之和为30,求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹.
分析:(1)由已知可得,再利用椭圆定义求解.
(2)由的轨迹方程、坐标的关系,利用代入法求的轨迹方程.
解: (1)以所在的直线为轴,,由,知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,,,有,故其方程为.
(2)设,,则. ①
由题意有代入①,得的轨迹方程为,其轨迹是椭圆(除去轴上两点).
例7. 已知动圆过定点,且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程.
分析:关键是根据题意,列出点P满足的关系式.
解:如图所示,,
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径,
即.∴点的轨迹是以,为两焦点,
半长轴为4,半短轴长为的椭圆的方程:.
说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,.
例8. 椭圆上的点到焦点的距离为2,为的中点,则
(为坐标原点)的值为( ) D.
解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为,由椭圆第一定义得,所以,
又因为为的中位线,所以,故答案为A.
4、点与椭圆的位置关系:
(1)点在椭圆外;(2)点在椭圆上=1;
(3)点在椭圆内
二、椭圆的简单几何性质
1、范围:
x2≤a2,y2≤b2,∴|x|≤a,|y|≤=±a和y=±b围成的矩形里。
2、椭圆的对称性
椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的;坐标轴是椭圆的对称轴,
原点是椭圆的对称中心;椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
练****6
3、顶点
椭圆和它的对称轴的交点叫椭圆的顶点;椭圆有四个顶点:A1(-a, 0)、A2(a, 0)、B1(0,-b)、B2(0, b);线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴;长轴的长等于2a,短轴的长等于2b;a叫做椭圆的长半轴长,b叫做椭圆的短半轴长。
在Rt△OBF中: |OF|=c, |OB|=b,则|BF|=△OBF为椭圆的特征三角形。
4、离心率:
椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,即:
①因为,所以的取值范围是②