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为无穷小量。
α,β为同一过程下的无穷小，且α≠
lim0
，称β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)（这时也称α是比β低阶的
无穷小）；
lim
c0
,称ɑ与β是同阶无穷小；
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lim1
，称ɑ与β是等价无穷小，记作α~β；
limkc0
，称是β对于α的k阶无穷小（其中k是正实数）。
。
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
1
2
n1x
1
arctanx~x
1-cosx~
1~x
2x
n
注意：利用等价无穷小代换时必须将一个因式“整体”
作代换。
函数的连续性及中断点
(x)点x0的某领域U(x0)内有定义，若
limx0
y
limx0
[f(x0x)f(x0)]0
，或
limx
f(x)
f(x0)
f(x)在点x0连续。
x0
，则称函数y
lim
f(x0)
lim
f(x0)
若x
x0
称f(x)在x0点右连续；若
xx0
，则称f(x)
在x0点左连续；
(x)在x0点连续f(x)在x0点既右连续又左连续。
，称函数在该区间连续。
注意：如果区间包括端点，那么在端点议论函数的连续性只能是单侧
连续。即在左端点右连续，在右端点左连续。
(x)在点x0连续必须知足三个条件：
（1）f(x)在点x0有定义；
（2）在x
x0时，f(x)有极限；
limf(x)
的值等于f(x0)。
（3）极限xx0
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极限存在的是第一类中断点，反之，为第二类中断点。
连续函数的性质与初等函数的连续性
f(x)，g(x)在点x0皆连续，那么函数
f
0)在点x0也是连续的。
g(x)
f(x),f?g,
g(g(x0)
f(x)在区间Ix上单一增加（或单一减少）且连续，那
x
1
(y)
么它的反函数
在对应的区间Iy{y|yf(x),xIx}上单一增
加（或单一减少）且连续。
f[g(x)]是由函数y
f(u)与函数u
g(x)复合而成，并且在x0
的某领域U(x0)内有定义。若
（1）函数u
g(x)在点x
x0连续，且g(x0)
u0；
（2）函数y
f(u)在点u
u0连续
则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续，既有
limf[g(x)]
f[g(x0)]
x
x0
f[g(x)]，函数g(x)在点x0的某去心领域内有定义且
limx
g(x)
u0
在点u0连续则有
x0
，而函数f
limf[g(x)]
f(u0)
xx0
。
(当x
0时)
x
(1
x)-1~x
ln(1x)~x
e-1~x
基本初等函数在其定义域内是连续的。
一切初等函数在其定义域内都是连续的。
闭区间上的连续函数在该区间上有界，并且一定能取得最大值与最小
值。
介值定理
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设函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续，在该区间的两头点处分别取值
A,B（A≠B,那么,对A,B之间的随意一个数C，在该区间（a,b)内起码存在一点§使得
f( )c
设函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续且f(a)和f(b)异号（即f(a)?f(b)0）那么在开区间(a,b)内起码存在一点使