文档介绍：精选极限知识拓展
【知识拓展】
收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：
证明：假设数列有两个极限a与b，即与，根据数列极限定义，对于任意的ε>0分别有：存在自然数当时，有；存在自
精选极限知识拓展
【知识拓展】
收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：
证明：假设数列有两个极限a与b，即与，根据数列极限定义，对于任意的ε>0分别有：存在自然数当时，有；存在自然数，当时，有．取，当n>N时，同时有与，于是当n>N时，有因为a与b是常数，2ε是任意小的正数，所以只有a=b，上述不等式才能成立，即数列的极限是惟一的．
定理2：〔有界性〕假设数列收敛，那么有界，即存在正数M，对任意自然数n有
证明：设，根据数列极限的定义，取定〔ε可以根据需要任意选取〕，存在自然数N，当n>N时，有因为，所以当n>N时，有或即…．
在数列中不满足不等式的项充其量不过是前N项：.令．于是，对任意自然数n，有
定理2指出收敛的数列必有界．反之，有界数列不一定收敛．例如，数列是有界的，但它却是发散的．换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件．
2．什么是有界数列?
定义：假设存在两个数A，B(设A<B)，数列中的每一项都在闭区间[A，B]内，亦即，那么称为有界数列．这时A称为它的下界，B称为它的上界．关于有界数列有下面几点说明．
(1)如果B是数列的上界，那么B＋1，B＋2，B+α(α>0)都是的上界．这说明上界并不是惟一的，下界也是如此．
(2)对于数列，如果存在正整数N，当n>N时，总有,我们就说数列往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项之前只有有限多个数在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设，
那么min(A，α)和max(B，β)就是整个数列的下界和上界．
(3)有界数列也可以这样表达：假设存在一个正数M，使得，就称是有界数列．或者也可以这么说，假设存在原点Ｏ的一个M邻域Ｏ(O，M)，使得所有，就称是有界数列，这种表达和上面所给出的定义显然是等价的．
3．什么是单调有界数列?
设是一个数列，如果我们就说这个数列是单调增加(上升)的．如果我们就说这个数列是单调减少(下降)的．例如就是一个单调减少的数列．如果在上面数列中等号都不成立，就称它是严格单调增加或严格单调减少的．
4．数列的收敛判别法有哪法?
方法1．假设存在自然数N，当n>N，总有，且，那么
[注：方法1被称为夹挤定理．]
例1 计算
思路启迪
只要找到两个数列与，使那么
标准解法
方法2．单调有界数列存在极限．
例2 证明数列收敛，并求它的极限．
思路启迪 首先对于这种随n的增大，数列的项有规律变化的情况可以用数学归纳法证明该数列单调并且有界．这样该数列必存在极限．可以设极限为，那么根据第n+1项与第n项的关系列出关于的等式就可以求出．
标准证法 设有，用归纳法证明数列是单调增加的，又是有上界的．显然，设(k是自然数)有，即，那么数列是单调增加的．显然，当n=1