文档介绍：一、高阶等差数列的心及心的求法
求高阶等差数列的通项知及前“和S”的时候，往常采纳逐差法或待
定系数法。下而先介绍逐差法求通项。
方法一逐差法。我们先看一个例题。
例1求数列｛"”｝的通项：
｛?｝：1,7,25,61,121,2=a(2k+3k+-+nk)+b(2k^+3*'1+⋯+/")+⋯+q
依据定理1,右侧第一个括号的和是对于n的(k+1)次多项式，第
二个括号是对于n的k次多项式，⋯，所以，心是对于n的(k+1)次多
项式.
所以，当｛“｝”为(k+1)阶等差数列时，心是对于n的(k+1)次多项
式，即p二k+1时结论也是建立的.
由上述证明可知，当｛心｝为p阶等差数列时，心是对于门的卩
次多项式.
｛“｝”的通项是对于n的p次多项式，设
an=an"+bnp^1+⋯(aH0)
作它的一阶差数列：
an一①一]=+bn
/，-1+⋯]一[a(n—l)"+/?(/?—+⋯]
=apnp+⋯
假如连续作P次,则获得P阶差数列是常数列｛?川，所以数列
｛"”｝是P阶等差数列.
定理3若数列｛“｝”为p阶等差数列，则它的前n项和S”是对于n
的(p+1)次多项式.
证明由于｛“”｝是p阶等差数列，依据定理2,它的通项公式是
”=anv+bn!，~'+⋯(aH0),
(akp+bkp~}+⋯)
依据定理1,t忆亡⋯分别是对于n的(p+1)次、p次、
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(p-l)次，⋯多项式，所以，S”是对于n的(p+1),我
们能够求出随意的高阶等差数列的通项公式和前n项和公式.
例1求下边数列的通项公式及前n项和5,17,35,59,89,解⋯先判断是几阶等
差数数列.
数列｛?｝：5,17,35,59,89,⋯
一阶差数列：12,18,24,30-
二阶差数列：6,6,6,???
所以，数列｛“｝”是二阶等差数列，依据定理2,%是对于n的2次多项式；
依据定理3,前项n和S”=air+bn+c,①
S,=劝"+yn2+zjt+f.②
此中“、b、c、x、y、z、/都是待定系数.
由于?=5,“2=17,“3=于35是,由①式得方程组
a+h+c=5.
<4"+2Z?+c=17,
9a+3Z?+c=35.
解之得a=3,b=3,c=-l,所以数列的通项公式为aH=3n2+3/i-1(?=123,)⋯
所以S]=q=5,S2=q+a2=22,S3=S2+a3=57,S4=S3+a4=116,于是由
②式得方程组：
k+y+z+/=5；
8x+4y+2z+f=22;
<
27x+9y+3z+f=57;
64x+16y+4?+/=116.
解之得x=l,y=3,z=lJ'=，数列的前n项和
Sn=n3+3n2+n(n=1,2,3,⋯).
例2求数列1?2,2?3,"5+1)的和
解数列的通项色“心+1)=“2+是”关,于n的2次多项式，所以，
数列｛“｝”的前n项和》是对于n的3次多项式，于是可设
S“=an'+bn2+cn+d.
因
S]=q=1?2=2,S?=S]+他=2+2?3=&S3=S?+為=8+3?4=20,S4=S3+a4=20+4?
5=40,于是得方程组
Sa+4b+2e+〃=&
27a+9b+3c+〃=20;
64"+16b+4c+〃=40.
解这个方程组得</=l,/?=u=2,J=o.
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所以，+用+人
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这个例题，假如是自然数的方幕和公式来计算，则会简单调些：
1?2+2?3+⋯+〃(〃+1)
=工《伙+1)=工伙‘+1)=》*'+工k
&■】衣■】
/?(/?+l)(2/i+1)n(n+1)13乍2
=—--------------+—-------=-n+ir+-n?
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二、高阶等比数列的通项％及》的求法
下而我们介绍用逐差法求高阶等比数列的通项及前n顶和的问
题.
例1求以下数列的通项：
(1)｛%｝：5,11,23,47,，⋯
(2)｛bn｝:5,15,49,155,477,???.
解(1)先作各阶差数列：
数列｛?｝：5,11,23,47,⋯，
一阶差数列｛心｝6,12,24,⋯，
由此可知，数列｛%｝是一阶等比数列,数列｛“”｝的首项为6,公
比为2,于是
an=6-2,!~1.
a2-an_x=?n_,=6-2h_2,
/.a2-q=6?2°—,?a2=6-21,a4—a3=6*22,???,?,—an=6*2n~2,
将以上各式两边分别相加，得
=6(1