文档介绍：通信原理--随机过程
2. 随机过程的数字特征
随机过程的一维数字特征
数学期望
设P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机变量ξ(t)的取值xi的概率，则其数学期望为：
对于连续随机变量X，设f (x)为其概率密度函数述见P19）
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高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。
如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。
如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则即对所有j≠k，有bjk=0，于是
高斯过程的特点
统计独立
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[例5]
一高斯信号，概率密度函数为 。
1、求此信号小于5V的概率
2、求此信号大于15V的概率
[解]
（2）
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窄带随机过程
窄带随机过程的定义
通信系统示意图
窄带条件
中心频率为 fc，带宽为△f，当△f << fc 时，就可认为满足窄带条件。
窄带随机过程：
当随机过程的功率谱满足窄带条件。
窄带滤波器：
带通滤波器的传输函数满足窄带条件。
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一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波
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窄带过程的数学表示
用包络和相位的变化表示
用同相分量和正交分量表示
同相分量
正交分量
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零均值平稳高斯窄带随机过程的统计特性
数学期望
自相关函数
互相关性
即同一时刻 和 互不相关或统计独立
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方差
一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)，它的同相分量ξc(t)
和正交分量ξs(t)也是平稳高斯过程，
ξc(t)与ξs(t)互不相关，若为高斯过程则统计独立；
具有相同的平均功率(均方值)。
重要结论
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包络和相位的统计特性
分布函数
服从瑞利分布
服从均匀分布
瑞利分布的特点：
aξ概率分布的用途：
在数据通信系统中用来求解误码率。
最大值发生在aξ＝σξ处。
一维分布而言，aξ(t)与φξ(t)是统计独立的，即有下式成立：
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白噪声
白噪声的定义
功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称之为白噪声.
白噪声的自相关函数
维纳-辛钦定理
白噪声的相关函数与功率谱密度
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带限白噪声
白噪声被限制在（ f1 ，,f2）之内。
常见的限带白噪声有两种
理想低通白噪声：
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理想带通白噪声
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高斯白噪声
概率论的中心极限定理：
N个统计独立的随机变量之和的分布，在N→∞的极限情况下，趋于高斯分布，而不考虑每个随机变量的具体分布如何。
热噪声和散粒噪声瞬时振幅的概率密度是高斯分布。
热噪声和散粒噪声是高斯型白噪声。
如果白噪声服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同的时刻的取值不仅是不相关的，而且还是统计独立的。
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正弦波加窄带高斯过程
设信号：
窄带高斯噪声：
混合波形：
同相分量：
正交分量：
均值为零的窄带高斯过程
用同相分量，正交分量描述
通信系统示意图
正弦波θ在(0,2π)均匀分布
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用信号r(t)的包络和相位描述
随机包络
随机相位
r(t)的包络的概率密度函数为（具体推导见P26-28）
广义瑞利分布
莱斯（Rice）密度函数
瑞利分布
两种极限情况
（小信号）
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高斯分布
（大信号）
r(t)的相位的概率密度函数
小信噪比时f(φ)接近于均匀分布
大信噪比时f(φ)主要集中在有用信号相位附近
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随机过程通过线性系统
经典系统分析的回顾
时域
确定性信号通过线性系统
频域
谱密度之间的关系
输入是平稳随机过程
随机过程通过线性系统
需要解决两个问题：
a、输入平稳，输出平稳否?
b、输入、输出功率谱密度之间的关系。
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输出随机过程的统计特性
的数学期望
条件假设：ξi(t)平稳，E[ξi(t)]为已知，h(t)为已知,
根据平稳性假定：
输出过程的数学期望与t无关。
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的自相关函数
根据平稳性假定：
输出过程是广义平稳的