高中数学数列数列求和.ppt

文档介绍：第四节　数列求和
2．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
3．错位相减法
如果一个数列的各项Sn.
【思路点拨】　(1)由条件，求出an，利用数列的性质求an＜0的n的最大值；(2)将{an}转化为两个特殊数列求和．
【尝试解答】　(1)∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－3x－1的图象上，
∴an＝2n－3n－1，
∵an＜0，∴2n－3n－1＜0，即2n＜3n＋1，
又∵n∈N*，
∴n≤3，即n的最大值为3.
1．数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和．
2．常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；
(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；
(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．
公差不为0的等差数列{an}中，a1＝2，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{cn}的前n项和为Sn，且nancn＝1，求证：Sn＜1.
【思路点拨】 　(1)由a1，a3，a7成等比数列，求得公差d，进而确定{an}的通项公式．
(2)根据{cn}的通项公式特征，利用裂项相消法求得Sn，从而证得Sn＜1.
【尝试解答】　(1)设等差数列{an}的公差为d，则a3＝2＋2d，a7＝2＋6d.
∵a1，a3，a7成等比数列，
∴(2＋2d)2＝2(2＋6d)，
又d≠0，∴可求d＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝n＋1，
∴数列{an}的通项公式为an＝n＋1.
数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
【思路点拨】　由an＋1＝Sn＋1－Sn得Sn与Sn＋1的递推关系，求得Sn和an，由an的特征，利用错位相减法求数列{nan}的前n项和Tn.
1．本例(2)求Tn时，易盲目利用错位相减法直接求和，忽视讨论n＝1的情形．
2．(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和．一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，若{bn}的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”．即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和．
解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
(2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．
，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差．
2．在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点．
数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．
易错辨析之八　通项遗漏导致错位相减求和错误
(2012·浙江高考改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n－3，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.
(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【错解】　(1)由Sn＝2n2＋n－3，得
n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)－3，
∴an＝2n2－2(n－1)2＋1＝4n－1，
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.
故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.
错因分析：(1)求an，忽视n＝1的情形，错求an，导致后续问题不能正确求解．
(2)错位相减求和时，弄错等比数列的项数，盲目认为除首、末项外成等比数列．
防范措施：(1)由Sn求an，当n＝1时，a1＝S1检验是否满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，若不