文档介绍：空间“综合”问题
冷水江市一中 孙祝梧
复****引入
z
x
y
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 、 空间“综合”问题
冷水江市一中 孙祝梧
复****引入
z
x
y
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 ，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？
F1
F3
F2
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
F1
F3
F2
例2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
A
B
C
D
P
E
F
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
G
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
G
(2)求证：PB⊥平面EFD
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
(3)求二面角C-PB-D的大小。
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
a
b
C
D
A
B
CD为a,b的公垂线
则
A，B分别在直线a,b上
已知a,b是异面直线，n为a的法向量
异面直线间的距离
即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，
z
x
y
A
B
C
C1
即
取x=1,则y=-1,z=1,所以
E
A1
B1
x
y
z
A
B
C
D
E
1、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。
2、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，
求面MNA与面MNB所成
二面角的余弦值。
A
B
C
D
E
F
M
N
3、如图6，在棱长为 的正方体 中，
分别是棱AB,BC上的动点，且 。
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”
< >=π—θ（或θ），
5、如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 的长为b ,且
求（1） 的长；
（2）直线 与AC夹角的余弦值。
A
B
C
D
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值
O
A
B
C
S
x
y
z
【课后作业】