文档介绍：单摆振动中的等效问题
单摆振动中的等效问题
单摆是由一根不能伸长的细线,系一个视为质点的摆球构成。在摆角(新教材)时,摆球的运动可视为简谐运动。等效方法是通过对问题中的某些因素进行变换或直接利用相似性,移用某一规律进行分析而得到相等效果
单摆振动中的等效问题
单摆振动中的等效问题
单摆是由一根不能伸长的细线,系一个视为质点的摆球构成。在摆角(新教材)时,摆球的运动可视为简谐运动。等效方法是通过对问题中的某些因素进行变换或直接利用相似性,移用某一规律进行分析而得到相等效果,利用等效法不仅可以使问题变得简单易解,而且活跃了学生的思维。
在通常情况下,很多物体的运动模型可等效为单摆模型,单摆振动中的等效问题包括模型的等效、摆长的等效、重力加速度的等效及周期的等效。等效单摆的周期公式可以广义地表示为式中为等效摆长,为等效重力加速度。
等效单摆摆长
所谓摆长意味着悬点到摆球球心间的距离。单摆的运动轨迹点是一小段圆弧,其轨道半径R与等效摆长相等,即=R。对于形异质同的单摆物理模型,不管有无“悬点”,只要搞清了圆弧轨道的半径R,单摆的周期即可用计算。
点B和C都由静止开始释放,问哪一个小球先到A点?
简析:B球到A点时间用自由落体运动规律求解,其时间:
C球在光滑圆弧槽内往复运动可看作等效单摆运动,半径R为等效摆长。第一次到达A点用单摆周期公式:
显然,,即B球先到。
讨论:要使两球在A点相遇,可使B球上移,问此时B球高度h为多少?
分析:B球下落时间为:
又C点运动具有重复性,两球相遇时间必有多解,相应的h值亦应有多解:
,
解得:
等效重力加速度
等效重力加速度的大小等于摆球的视重(摆球相对悬点静止时线的拉力F)与摆球的质量m之比,即。求的基本步骤如下:
(1)分析摆球的受力,确定摆球相对静止的位置(即平衡位置)。
(2)计算摆球的视重。
(3)利用,求出视重加速度。
应当注意,在计算拉力时,不能将始终沿悬线方向的力(法线方向)包括在内。因为只有对回复力有贡献的力,才能改变振动周期。如图7几种情况,振动周期不变。
图7
,由于受到横向风力的作用,偏过角。若绳长为l,摆球质量为m,且风力稳定,当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时,其周期为(
)。
.
图8图9
解析:平衡时摆球受重力mg,风力,线的拉力,受力分析如图9所示。由力的平衡可得,摆球的视重为
等效重力加速度为
所以摆的周期为
故选项B正确。
,用一根细线,长为l,将一个密度的小球拴在盛水容器的底部。若使小球稍偏离平衡位置而振动,求它的周期是在空气中周期的几倍。
图10图11
解析:设摆球的体积为V,则质量为。摆球在水中平衡时受重力mg、拉力、浮力作用,如图11所示。由力的平衡条件可得
等效重力加速度为
摆在水中的周期为
摆在空气中的周期为
原始的单摆模型在振动过程中回复力来源于重力的分量,要研究升降机中单摆的周期问题,必须从研究回复力着手,求出其等效重力,再求等效重力加速度,则。
,摆长为L,当升降机以加速度a匀加速上升的过程中,求单摆的振动周期T。
简析:单摆在摆动过程中,受重力和绳的张力F的作用,当升降机匀加速上升时,单摆一方面绕悬点振动,另一方面沿竖直方向作匀加速直线运动。
根据力的作用效果,将F分为三个力,如图12所示,在竖直方向上,F3与G的合力产生向上的加速度a,切线方向的F1使单摆返回“平衡”位置,产生切向加速度,F2沿摆线方向产生做圆周运动所需的向心加速度。
因为。
又因为F⊥F1,所以:
当很小时,。
故单摆在加速上升的升降机中所受回复力与位移成正比,且方向相反,得。
单摆在升降机中摆动周期为:
显然,我们称之为等效重力加速度,同理,若升降机以加速度a匀加速下降,则:
。
可见在升降机中加速(或加速)上升(或下降),可以等效为重力加速度发生变化,只要求出等效重力加速度,则单摆的周期问题迎刃而解,现列举另外几种常见情形:
(1)在水平加速运动的车厢内
如图13所示,若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内,其平衡位置由O变到了O”,等效重力加速度为,则振动周期为。
图13图14
(2)在斜面上加速运动的车厢内
如图14所示,当小车沿倾角为的光滑斜面自由滑下时,单摆的周期为,比小车静止时要大。
(3)光滑斜面上的单摆
如图15所示,单摆一端系于倾角为的光滑斜面上,产生回复力的是的切向分力,等效重力加速度为,周期为。
图15图16
(4)复合场中的单摆
若将带电量为q的单摆放入电场强度为E的匀强电场中,如图16所示,则得到最常见的复合场。
若摆球带负电,则:
若摆球带正电,