文档介绍：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
摘要:本文主要利用化为参数的定积分法,格林公式,积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目;以及利用曲面积分的联系,分面投影法,合一投影法,高斯公式解答第二型曲面积分的题目.
关键词:曲面积分;曲线第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
摘要:本文主要利用化为参数的定积分法,格林公式,积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目;以及利用曲面积分的联系,分面投影法,合一投影法,高斯公式解答第二型曲面积分的题目.
关键词:曲面积分;曲线积分
1引言
第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节,,,并结合具体实例以及教材总结出其特点,.
2第二型曲线积分
例1求I=』Ssiny-b(x+y)》x+ex(cosy-ax^)dy,其中a,b为正的常数,L
为从点A(2a,0)沿曲线y=\/2aXH到点o(0,0)的弧.
方法一:利用格林公式法
--咀'dxdy,P(x,y),Q(x,y)以及它们的一阶偏导数"8xdy)
fPdx+Qdy=ff性
D
在D上连续,L是域D的边界曲线,L是按正向取定的.
解:添加从点o(0,0)沿y=0到点A(2a,0)的有向直线段L1,
I=fu(exsiny一b(x+y))dx+(excosy一ax)dy
-f(exsiny一b(x+yJ)dx+(excosy一ax)dy
Li
记为I=I1-12,
则由格林公式得:I
i
D
dxdy
=ff—一竺^|dxdy=ff|^ex一cosy一a
-(excosy一b)
S8y「 d' 」
=ff(b一a)dxdy=;a2(b一a)
D
其中D为L1UL所围成的半圆域,直接计算12,因为在L1时,y=0,所以dy=0
因而:I=f(„-bx认=-2a2b,从而
(—一、
—+2a2b一
k2J
2
I=I一I=—a2(b一a)+2a2b=
1 2 2
方法二:应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解
⑴若壬罕(与路径无关的条件),则
faGm)pdx+Qdy=fxiP(x,yL+fyiQ(x,y)dy
BE) x0 0 y0 1
(2)x=e(t),y*(t)
dt
fPdx+Qdy=f。P(8(t),甲(t))0(t)+Q(巾0),甲0))甲'0)AB a
a是起点p是终点
解:I=f(exsiny一b(x+y))dx+(excosy-ax)dy
L
=fexsinydx+excosydy-fb(x+y)dx+axdy
LL
记为I=I]-七,
对于I
1
积分与路径无关,所以fexsinydx+excosydy=exsiny
(0,0) =0
(2a,0)
对于I
2
取1的参数方程jx=a+asint,t从0到-,得
Iy=asint
fb(x+y)dx+axdy
=f—(-a2bsint-a2bsintcost-a2bsin21+a3cos21+a3cost)/t0
从而I=
(—一、一万+2a2b―
k2J
对于空间第二曲线一般的解题过程为:fPdx+Qdy+Rdz
L
若L闭合,P,Q,R对各元偏导数连续
dydz
dzdx
dxdy
jPdx+Qdy+Rdz=jj—
S
S
l Sx
Sy
Sz
z
P
Q
R
若L非闭,其参数方程为
虹PG(t),y(t),z(t))x,(t)+QG(t),y(t),z(t))y,(t)+R(x(t),y(t),z(t))z<t)]也x-x(t)
其中:]y=y(t)a,p分别为L的起点,终点参数值.
z=z(t)
例2计算空间曲线积分I二』(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,其中曲线L
为圆柱面x2+y2=「2与平面X+三=1的交线(a>0,h>0),从X轴正向看,ah
曲线是逆时针方向.
方法一:化为参数的定积分计算,对于这种封闭的曲线要充分利用[。,2兀]上
三角函数的正交性.
解:令x=acost,y=asint,贝D
=h(1-cost)
于是I=
acost]•acost+(acost—asint)•hsint\lt
』fasint—h(1—cost)]•(—asint)+[h(1—cost)-
=-2兀a(a+h)
dydz
方法二:解:i=jj9
z
dx
dzdx
d_
Sy
z-x
dxdy