文档介绍：线性代数复****要点
第_部分行列式
排列的逆序数
行列式按行(列)展开法则
:
a
a
L
a
11
12
L
1n
a
a
a
21
22
2n
M线性代数复****要点
第_部分行列式
排列的逆序数
行列式按行(列)展开法则
:
a
a
L
a
11
12
L
1n
a
a
a
21
22
2n
M
M
M
a
a
L
a
n1
n2
nn
顶1以j
①(定义法)D
n
£ (-1)t(j1j2ljn)aaLa
1j1 2j2 nnn
思考版:用定义计算行列式
解:用树图分析
r(2134)=1
t(2113)-2
r(2413)-3
r(2431)-1
-4
(降阶法)行列式按行(列)展开定理:
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
冈,,=j,
0,i丰j.
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
aA+aA+LaA
i1j1 i2 j2 injn
解-
(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
1
-5
3
-3
1
--
3
-3
1
-5
3
-3
0
10
-5
=5
0
1
-1
1
=(-5)
0
1
1
1
0
16
-10
11
0
0
-2
3
0
0
-2
3
0
21
-9
11
0
1
1
1
0
2
-1
1
5
3
-3
1
1
1
0
_2
3
0
-j
-1
b* * *
11
0b* *
凶=
22
=bbLb
M0O*
1122 nn
0L0b
nn
④若A与B都是方阵(不必同阶),则
A
O
O
B
=1AB
A * A
= =(-1)mJAB
⑤关于副对角线:
*
a
1n
1
O
N
a
2n-1
L
N
a
n1
a
2n-1
a
n1
1
1
x
X
L
X
-X)
⑥德蒙德行列式:
x2
2
X2
2
L
n
X2
n(x
1
n
i
j
M
M
M
1<j<i<n
Xn-1
Xn-12
L
Xn-1
1
n
a
1n
O
=(-1)n(2-1)aaKa
1n2nn1
O B O 1111
2
-1
0
0
-1
3
0
0
0
0
1
1
0
0
-2
5
例计算
2
-1
0
0
-1
3
0
02-11
1
解
= •
=5x7=35
0
0
1
1-13-2
5
0
0
-2
5
例计算行列式
11
---1
,耳+1 4-1 --- +1
D二
.X;1■.石 .r;4 ---.匚+
寸-广 -.r
冷一' _/一]
2 "'VJi~Xn
解把第itjtj-1 到第2行,把新的第
n」‘•的一1倍加到第
3^,以此类推直到
把新的第n-l行的-1倍加到第n行,便得范德蒙行列式
111
击耳■■-七
二R3-丐)
/11/-】 -
a-b型公式:
a
b
b
L
b
b
a
b
L
b
b
b
a
L
b
M
M
M
O
M
b
b
b
L
a
=[a+(n-1)b](a-b)n-1
(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法.
(递推公式法)对n阶行列式Dn找出Dn与Dn-1或Dn-1,D-2之间的一种关系一一称为递推公式,其中
巳,Dn-1,Dn-2等结构相同,再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法.
(拆分法)把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算.
例山斯洌式nH=
(数学归纳法)
彳歹| —1 0 ■■■ 0 0
0 x —1 --- 0 0
A= ■-…- -
0 0 0 x-1
%久_5 巧句+―
解:=2时
x-1A= =Kr+q)+昭
弓」“十%
二./-a2
=k时,有
=./+<?]./--十的“/心十---十/_1工_*
则当n=k-1时,
功_]二盖2+%】
=+可广+…-孔L+快)+知