文档介绍：初中圆复****br/>一、圆的概念
集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的间隔等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的间隔大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的间隔小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、初中圆复****br/>一、圆的概念
集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的间隔等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的间隔大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的间隔小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的间隔等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、垂直平分线:到线段两端间隔相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);
3、角的平分线:到角两边间隔相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的间隔相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的间隔等于定长的两条直线;
5、到两条平行线间隔相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线间隔都相等的一条直线。
二、点和圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内;
2、点在圆上点在圆上;
3、点在圆外点在圆外;
三、直线和圆的位置关系
1、直线和圆相离无交点;
2、直线和圆相切有一个交点;
3、直线和圆相交有两个交点;
四、圆和圆的位置关系
外离(图1)无交点;
外切(图2)有一个交点;
相交(图3)有两个交点;
内切(图4)有一个交点;
内含(图5)无交点;
五、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙中,∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,那么可以推出其它的3个结论,
即:①;②;
③;④弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:在⊙中,∵、都是所对的圆周角
∴
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙中,∵是直径或∵
∴∴是直径
推论3:假设三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
即:在△中,∵
∴△是直角三角形或
注意:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙中,∵四边是内接四边形
∴
九、切线的性质和断定定理
1、切线的断定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵且过半径外端
∴是⊙的切线
2、性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵、是的两条切线
∴;平分
十一、圆幂定理
1、相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等.
即:在⊙中,∵弦、相交于点,
∴
推论:假设弦和直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙中,∵直径,
∴
2、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线和圆交点的两条线段长的比例中项。
即:在⊙中,∵是切线,是割线
∴
3、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线和圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。
即:在⊙中,∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:垂直平分。
即:∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长