文档介绍：三角函数(Trigonometric)是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。
锐角三角函数
在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式: sin A=∠A的对边长/斜边长,sin A记为∠A的正弦; cos A=∠A的邻边长/斜边长,cos A记为∠A的余弦; tan A=∠A的对边长/∠A的邻边长,tan A记为∠A的正切; 当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。
常见三角函数
在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)。在这个直角三角形中,y是θ的对边,x是θ的邻边,r是斜边,则可定义以下六种运算方法:
基本函数
英文
表达式
语言描述
正弦函数
Sine
sinθ=y/r
角θ的对边比斜边
余弦函数
Cosine
cosθ=x/r
角θ的邻边比斜边
正切函数
Tangent
tanθ=y/x
角θ的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cotθ=x/y
角θ的邻边比对边
正割函数
Secant
secθ=r/x
角θ的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
cscθ=r/y
角θ的斜边比对边
在初高中教学中,主要研究正弦、余弦、正切三种函数。注:tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法。
sinπ/3
非常见三角函数
除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数,这些运算已趋于淘汰:
函数名
与常见函数转化关系
正矢函数
versin θ=1-cos θ
余矢函数
covers θ=1-sin θ
半正矢函数
havers θ=(1-cos θ)/2
半余矢函数
hacovers θ=(1-sin θ)/2
外正割函数
exsec θ=sec θ-1
外余割函数
excsc θ=csc θ-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理,
三角函数
单位圆的方程是:x^2+y^2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ和 sin θ。图像中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有 sin θ= y/1 和 cos θ= x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。对于大于 2π或小于等于2π的角度,可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数:对于任何角度θ和任何整数 k。周期函数的
最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是 2π弧度或 360°;正切或余切的基本周期是半圆,也就是π弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示。
其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中,在角 kπ附近变化缓慢,而在接近角(k + 1/2)π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ= (k + 1/2)π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k + 1/2)π的时候函数接近正无穷,而从右侧接近(k + 1/2)π的时候函数接近负无穷。另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义,类似于历史上使用的几何定义。特别
三角函数
是,对于这个圆的弦 AB,这里的θ是对向角的一半,sin θ是 AC(半弦),这是印度的阿耶波多介入的定义。cos θ是水平距离 OC,versin θ= 1-cos θ是 CD。tan θ是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切。cot