文档介绍：华北科技学院基础部
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第16章
隐函数存在定理函数相关
《数学分析》(2)
华北科技学院基础部
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一、F(x,y)=0情形
二、多变量情形
三、方程组情形
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前面关于隐函数华北科技学院基础部
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第16章
隐函数存在定理函数相关
《数学分析》(2)
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一、F(x,y)=0情形
二、多变量情形
三、方程组情形
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前面关于隐函数(组)的微分法都假定:隐函数存在,且它们的导数或偏导数也存在。
本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。
1、隐函数概念
显函数:因变量可由自变量的某一分析式来表示
:
一、F(x,y)=0情形
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方程式所确定的函数,:
隐函数:自变量与因变量之间的关系是由某一个
注2不是任一方程 都能确定隐函数,
例如 显然不能确定任何隐函数.
注1隐函数一般不易化为显函数,也不一定需要
,这
与它能否用显函数表示无关.
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注3一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点及其某邻域有关.
(0,1)
(0,-1)
(-1,0)
(1,0)
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:
由方程
确定的隐函数
由方程
确定的隐函数
等
等.
条件时,由F(x,y)=0能确定隐函数y=f(x)并使
要讨论的问题是:当函数 满足怎样一些
该隐函数具有连续、可微等良好性质?
2、隐函数存在性条件分析
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唯一确定隐
函数
(1)连续
(1)连续曲线存在
,使
(2)可微
(2)存在切线
交线
2、隐函数存在性条件分析
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曲面
在
点有切平面且切平面的法线不平行于
轴(即切平面不是
平面)
切平面的法向量为
与
不共线
(即
不能同时为零)
交线存在切线,意味着一元函数的可微性,也要求
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x
z
y
O
Σ:z=F(x,y)
O
Γ:F(x,y)=0
P0(x0,y0)
图1隐函数存在性条件分析示意图
Γ:y=f(x)
F(x0,y0)=0
y0=f(x0)
F(x,f(x))=0
(满足一定条件或在某一局部)
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3、隐函数存在定理
定理1(隐函数存在惟一性定理)设方程F(x,y)=0中
的函数 满足以下三个条件:
(ii)(初始条件);
则有如下结论成立:
(i)在区域
(iii)
F(x,y)=0惟一地确定了一个隐函数
(i)存在某邻域 ,在内由方程
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它满足:
,且当时,使得
证首先证明隐函数的存在与惟一性.
证明过程归结起来有以下四个步骤(见图2):
在上连续.
(ii)
(iii)
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(c)同号两边伸
++++
----
(d)利用介值性
++++
----
(b)正、负上下分
+++
_
_
_
+
_
0
(a)一点正,一片正
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
图2隐函数存在性与惟一性分析示意图
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(a)“一点正,一片正”
由条件(iii),不妨设
因为连续,
保号性,使得
(a)一点正,一片正
D
P0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
星星之火
可以燎原
所以根据连续函数的
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(b)正、负上下分
+++
_
_
_
+
_
0
(b)“正、负上下分”
因故
把看作的函数,它在上
严格增,且连续(据条件(i)).
特别对于函数
由条
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因为关于连续,故由
(b)的结论,根据保号性, 使得
(c)同号两边伸
++++
----
(c)“同号两边伸”
(d)“利用介值性”
因关于 连续,且严
格增,故由(c)的结论,依据介值性定理,存在惟
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(d)