高等代数.doc

文档介绍：2004年西安建筑科技大学高等代数试题
一、(15分)计算题
(7分)给定线性空间的两组基:
, ,
,,
写出由,,到基,,的过渡矩阵.
(8分)计算行列式
二、(18分)计算题.
1,(8分)已知多项式与,试求与的最大公因式.
2,(10分)在数域上的三维线性空间中,给定两个向量组,和,与分别由,和,生成的线性空间,求+的维数和一组基.
三、(20分)证明题.
1,(9分)证明:如果向量组,,…,线性无关,而向量组,,…,,线性相关,则向量可由向量组,,…,线性表出.
2,(11分)证明:多项式整除多项式的充分必要条件是整除.
四、(20分)证明题.
1,(10分)设是维线性空间中的一个对称变换,是的一个不变子空间,证明的正交补也是的不变子空间.
2,(10分)证明:每一个维线性空间都可以表示成个一维子空间的直和.
五、(12分)讨论取什么值时下列方程组有解,并求解.
六、(12分)给定四维向量,,求作一个四阶正交矩阵,以,作为它的前两个列向量.
七、(12分)求数域上的全体阶对称矩阵所成线性空间的维数和一组基.
八、(16分)证明题.
1, (8分)设,是线性变换的两个不同的特征值,而,是分别属于,的特征向量,证明+不是的特征向量.
2, (8分)证明:如果线性空间的线性空间以的每一非零向量作为它的特征向量,则是数乘变换.
九、(13分)如果是正定矩阵,证明:
1,(6分)的逆矩阵是正定矩阵;
2,(7分)的转置矩阵是正定矩阵.
十、(12分)设,,…,是欧式空间的一个向量组,令
证明:向量组,,…,线性无关的充要条件是。